千锤百炼第76炼 存在性问题.doc
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2022-10-14
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第 76 炼 圆锥曲线中的存在性问题
一、基础知识
1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存
在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；
否则即判定不存在
2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替
（1）点：坐标
( )
0 0
,x y
（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）
（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程
3、解决存在性问题的一些技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要
条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作
为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：
①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解
②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变
量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：
例 1：已知椭圆
( )
2 2
2 2
: 1 0
x y
C a b
a b
+ = > >
的离心率为
3
3
，过右焦点
F
的直线
l
与
C
相交于
,A B
两点，当
l
的斜率为
1
时，坐标原点
O
到
l
的距离为
2
2
。
（1）求
,a b
的值
（2）
C
上是否存在点
P
，使得当
l
绕
F
旋转到某一位置时，有
OP OA OB= +
uuur uuur uuur
成立？若存在，
求出所有的
P
的坐标和
l
的方程，若不存在，说明理由
解：（1）
3
: : 3 : 2 : 1
3
c
e a b c
a
= = Þ =
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