千锤百炼第77炼 定点定直线问题.doc
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2022-10-14
14:38:20
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第 77 炼 定点定直线问题
一、基础知识：
1、处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为
k
）
（2）利用条件找到
k
与过定点的曲线
( )
, 0F x y =
的联系，得到有关
k
与
,x y
的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点
( )
0 0
,x y
，使得无论
k
的值如何变化，等式恒成立。
此时要将关于
k
与
,x y
的等式进行变形，直至易于找到
0 0
,x y
。常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含
k
的项归在一组，变形为“
( )
k ×
”的形式，从而
0 0
,x y
只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含
k
的分式，
0 0
,x y
的取值一方面可以考虑使其分子为 0，从而分式与分母的取值
无关；或者考虑让分子分母消去
k
的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相
互转化，但通常选择容易观察到的形式）
2、一些技巧与注意事项：
（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该
点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。
（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。
所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否
过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线
: 1l y kx k= + -
，就应该能够意识到
( )
1 1y k x= + -
，进而直线绕定点
( )
1, 1- -
旋转
二、典型例题：
例 1：椭圆
( )
2 2
2 2
: 1 0
x y
C a b
a b
+ = > >
的离心率为
1
2
，其左焦点到点
( )
2,1P
的距离为
10
（1）求椭圆
C
的标准方程
（2）若直线
:l y kx m= +
与椭圆
C
相交于
,A B
两点（
,A B
不是左右顶点），且以
AB
为直径
的圆过椭圆
C
的右顶点。求证：直线
l
过定点，并求出该定点的坐标
解：（1）
1
: : 2 : 3 :1
2
c
e a b c
a
= = Þ =
，设左焦点
( )
1
,0F c-
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