千锤百炼第68炼 离心率问题.doc
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2022-10-14
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第 68 炼 圆锥曲线的离心率问题
离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面
也体现了参数
,a c
之间的联系。
一、基础知识：
1、离心率公式：
c
e
a
=
（其中
c
为圆锥曲线的半焦距）
（1）椭圆：
( )
0,1e Î
（2）双曲线：
( )
1,+e Î ¥
2、圆锥曲线中
, ,a b c
的几何性质及联系
（1）椭圆：
2 2 2
a b c= +
，
①
2a
：长轴长，也是同一点的焦半径的和：
1 2
2PF PF a+ =
②
2b
：短轴长
③
2 :c
椭圆的焦距
（2）双曲线：
2 2 2
c b a= +
①
2a
：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：
1 2
2PF PF a- =
②
2b
：虚轴长
③
2 :c
椭圆的焦距
3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数
, ,a b c
的比例关系（只需找
出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），
那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与
a
有关，另一条边为焦距。从
而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用
, ,a b c
进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围
有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用
, ,a b c
表示，且点坐标的
范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的
值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于
, ,a b c
的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：
( )
0,1e Î
，双
曲线：
( )
1,+e Î ¥
二、典型例题：
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