千锤百炼第96炼 平面几何.doc

《千锤百炼第96炼 平面几何》这篇文档主要涵盖了平面几何中的关键概念和定理，包括相似三角形、平行线分线段成比例、常见线段比例模型、圆的几何性质以及与圆相关的定理。以下是这些知识点的详细解释： 1. **相似三角形**： - 判定：两个三角形对应角相等，或两边及一夹角对应成比例，或三边对应成比例，均表明这两个三角形相似。 - 性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、中线、角平分线也成比例。 2. **平行线分线段成比例**： - 当两条直线平行时，与之相交的线段可以形成比例关系，例如AB/DE = BC/EF，AC/DF = BC/EF。 3. **线段比例模型**： - “A”字形模型：在这样的图形中，有特定的线段比例关系，例如ADAED/DBEC，DBCE/ABAC。 - “8”字形模型：涉及的是圆的内接四边形和外接四边形的线段比例，如AOBO/ABOD，COCD/ABOD。 4. **圆的几何性质**： - 角的性质：直径所对圆周角是直角；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等。 - 线段的性质：等弧所对的弦长相等；过圆心的弦的垂线平分弦；切线的性质。 5. **与圆相关的定理**： - **切割线定理**：切线PA与割线PBC的乘积等于两部分的乘积，即2PA×PB=PC×PC。 - **相交弦定理**：相交弦AB和CD在交点P处的弦幂乘积等于各自弦的幂，即AP×BP=CP×DP。 - **切线长定理**：从圆外一点P引圆的两条切线，它们的长度相等。 6. **射影定理**： - 在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，射影定理表明：BC×BD=BA×AD，AC×AD=AB×CD，CDBD=AD×BC。 7. **线段长度的求解方法**： - 通过定理求解：如果所求线段是定理的一部分，可以找到其他条件来计算。 - 比例关系：考虑线段之间是否存在比例关系。 - 正余弦定理：将线段放入三角形中，利用正弦或余弦定理。 - 设未知数：无法直接找到关系时，可以通过设未知数并建立方程求解。 在提供的典型例题中，题目通过应用上述定理和性质，解决几何问题。例如，例1利用了切割线定理求解AE的长度，例2结合切割线定理和射影定理，例3则涉及了圆的割线和切线性质。这些实例展示了平面几何问题的实际应用和解决策略。