千锤百炼第58炼 数学归纳法.doc

数学归纳法是数学证明中的一种基本方法，尤其适用于证明与正整数相关的性质。它分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。 **第一数学归纳法**： 1. **归纳验证**：首先验证基础情形，即当n=0（或者某个最小的正整数n0）时命题成立。 2. **归纳假设**：假设对于某个正整数k，命题对所有小于等于k的正整数都成立。 3. **归纳结论**：基于这个假设，证明当n=k+1时命题也成立，这样就确保了命题对所有大于等于基础情形的正整数都成立。 **第二数学归纳法**： 与第一归纳法类似，但假设更强。不仅假设命题对所有小于等于k的正整数成立，还假设对所有小于k的正整数成立，然后证明对k+1也成立。这允许在归纳步骤中使用更多的信息，使得证明更为灵活。 **应用示例**： 1. **例1**涉及到等比数列的前n项和。这里使用数学归纳法证明了一个不等式：对于等比数列，其前n项和S_n满足131nnSnSn++£。首先验证n=1时等式成立，然后假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式依然成立，通过比较k和k+1的情况，找到联系，最终完成证明。 2. **例2**涉及到等差数列的通项公式和数列的前n项和。通过等差数列的定义和性质，找出通项公式。然后，利用数学归纳法证明一个涉及对数不等式的恒成立问题，同样从基础情形出发，假设k时成立，证明k+1时也成立，通过代入和简化，最后得出结论。 数学归纳法的关键在于找到每个步骤之间的联系，即如何从归纳假设推出归纳结论。在实际应用中，需要巧妙地构造论证，展示每个n值的命题正确性是如何依赖于前一个n值的命题正确性的。这种方法在处理数列、整除问题、图形计数等问题时特别有效。