没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
千锤百炼第33炼 向量的模长问题代数法.doc
资源推荐
资源详情
资源评论
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86757050/bg1.jpg)
- 1 -
第 33 炼 向量的模长问题——代数法
一、基础知识:
利用代数方法处理向量的模长问题,主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式
1、模长平方:通过
2
2
cos0a a a a= × =
r r r r
可得:
2
2
a a=
r r
,将模长问题转化为数量积问题,
从而能够与条件中的已知向量(已知模长,夹角的基向量)找到联系。要注意计算完向量数
量积后别忘记开方
2、坐标运算:若
( )
,a x y=
r
,则
2 2
a x y= +
r
。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中,
则只要确定所求向量的坐标,即可求出(或表示)出模长
3、有关模长的不等问题:通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的
函数关系,从而将问题转化为求函数最值问题
二、典型例题
例 1:在
ABCV
中,
O
为
BC
中点,若
1, 3, 60AB AC A= = Ð =
o
,则
OA =
uuur
_____
思路:题目条件有
1, 3, 60AB AC A= = Ð =
o
,进而
AB AC×
uuur uuur
可
求,且
OA
uuur
可用
,AB AC
uuur uuur
表示,所以考虑模长平方转化为数量积
问题
解:
OQ
为
BC
中点
\
可得:
( )
1
2
AO AB AC= +
uuur uuur uuur
( )
( )
2
2
2 2 2
1 1
2
2 4
AO AO AB AC AB AB AC AC
é ù
\ = = + = + × +
ê ú
ë û
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
3
cos
2
AB AC AB AC A× = × =
uuur uuur uuur uuur
代入可求出:
2
13
=
4
AO
uuur
13
2
AO\ =
uuur
答案:
13
2
例 2:若
, ,a b c
r r r
均为单位向量,且
( ) ( )
0, 0a b a c b c× = - × - £
r r r r r r
,则
a b c+ -
r r r
的最大值为( )
A.
2 1-
B.
1
C.
2
D.
2
思路:题目中所给条件与模和数量积相关,几何特征较少,所以考虑将
a b c+ -
r r r
平方,转化
O
B
C
A
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86757050/bg2.jpg)
- 2 -
为数量积问题,再求最值。
解:
( ) ( )
2
0 0a c b c a b b c a c c- × - £ Þ × - × - × + £
r r r r r r r r r r r
①
0, 1a b c× = =
r r r
Q
\
①转化为
1 0 1b c a c b c a c- × - × + £ Þ × + × ³
r r r r r r r r
( )
2
2
2 2 2
2 2 2a b c a b c a b c a b a c b c\ + - = + - = + + + × - × - ×
r r r r r r r r r r r r r r r
( )
1 1 1 2 3 2 1b c a c= + + - × + × £ - =
r r r r
1a b c\ + - £
r r r
答案:B
例 3 : 平 面 上 的 向 量
,MA MB
uuur uuur
满 足
2
4MA MB+ =
uuur uuur
, 且
0MA MB× =
uuur uuur
, 若
1 2
3 3
MC MA MB= +
uuuur uuur uuur
,则
MC
uuuur
的最小值为___________
思路:发现所给条件均与
,MA MB
uuur uuur
相关,且
MC
uuuur
可以用
,MA MB
uuur uuur
表示,所以考虑
MC
uuuur
进行模
长平方,然后转化为
,MA MB
uuur uuur
的运算。从而求出最小值
解:
( )
2
2
2 2
1 2 1
4 4
3 3 9
MC MA MB MA MA MB MB
æ ö
= + = + × +
ç ÷
è ø
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
0MA MB× =
uuur uuur
Q
2
4MA MB= -
uuur uuur
,代入可得:
( )
2
2 2
1 1 1 63 1 63 7
4 4 4
9 9 8 16 9 16 16
MC MB MB MB
é ù
æ ö
= + - = - + ³ × =
ê ú
ç ÷
è ø
ê ú
ë û
uuuur uuur uuur uuur
min
7
4
MC\ =
uuuur
答案:
7
4
例 4 : 已 知 平 面 向 量
,
a b
ur ur
满 足
2 3
a b
- =
ur ur
, 且
a b
+
ur ur
与
2
a b
-
ur ur
的 夹 角 为
150
o
, 则
( )
( )
3
2
t t R
a b b
+ - Î
ur ur ur
的最小值是( )
A.
3
4
B.
3
3
C.
3
2
D.
3
思路:题目所给条件围绕着
a b
+
ur ur
与
2
a b
-
ur ur
,所以考虑所求向量用这两个向量进行表示:
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86757050/bg3.jpg)
- 3 -
( ) ( ) ( )
3 1 1
2
2 2 2
t t
a b b a b a b
æ ö
+ - = - + + -
ç ÷
è ø
ur ur ur ur ur ur ur
,从而模长平方变成数量积问题,可得:
( ) ( )
2 2
2
3 1 3 1 3
2 2 2 2 4
t t t
a b b a b a b
æ ö æ ö
+ - = - + + - + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ur ur ur ur ur ur ur
,将
1
2
t
a b
æ ö
- +
ç ÷
è ø
ur ur
视为一个
整体,则可配方求出最小值
解:
( ) ( ) ( )
3 1 1
2
2 2 2
t t
a b b a b a b
æ ö
+ - = - + + -
ç ÷
è ø
ur ur ur ur ur ur ur
( ) ( ) ( )
2
2
3 1 1
2
2 2 2
t t
a b b a b a b
æ ö
\ + - = - + + -
ç ÷
è ø
ur ur ur ur ur ur ur
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2
t t
a b a b a b a b
é ù é ù
æ ö é ù é ù æ ö
= - + + - + × - × - +
ç ÷ ç ÷
ê ú ê ú
ê ú ê ú
è ø ë û ë û è ø
ë û ë û
ur ur ur ur ur ur ur ur
( )
2
1 3 1
2 cos150
2 4 2
t t
a b a b a b
é ù
æ ö æ ö
= - + + + - - × +
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û
o
ur ur ur ur ur ur
2
2
1 3 1 3
2 2 2 4
t t
a b a b
æ ö æ ö
= - + - - + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ur ur ur ur
2
1 3 3 3
2 4 16 16
t
a b
é ù
æ ö
= - + - + ³
ç ÷
ê ú
è ø
ë û
ur ur
( )
3 3
2 4
t
a b b
\ + - ³
ur ur ur
答案:A
小炼有话说:本题的关键在于选好研究对象,需要把已知的两个向量视为整体,而不是
,
a b
ur ur
例 5:已知平面向量
,OA OB
uuur uuur
的夹角
2
,
3 3
p p
q
é ù
Î
ê ú
ë û
,且
3OA OB= =
uuur uuur
,若
1 2
3 3
OP OA OB= +
uuur uuur uuur
,
则
OP
uuur
的取值范围是__________
思路:由
3OA OB= =
uuur uuur
和夹角范围即可得到
OA OB×
uuur uuur
的范围,从而可想到将
OP
uuur
模长平方,
再利用
1 2
3 3
OP OA OB= +
uuur uuur uuur
转变为关于
,OA OB
uuur uuur
的问题,从而得到关于夹角
q
的函数,求得范
围。
剩余11页未读,继续阅读
资源评论
![avatar-default](https://csdnimg.cn/release/downloadcmsfe/public/img/lazyLogo2.1882d7f4.png)
![avatar](https://profile-avatar.csdnimg.cn/default.jpg!1)
qingguo1979
- 粉丝: 28
- 资源: 7296
上传资源 快速赚钱
我的内容管理 展开
我的资源 快来上传第一个资源
我的收益
登录查看自己的收益我的积分 登录查看自己的积分
我的C币 登录后查看C币余额
我的收藏
我的下载
下载帮助
![voice](https://csdnimg.cn/release/downloadcmsfe/public/img/voice.245cc511.png)
![center-task](https://csdnimg.cn/release/downloadcmsfe/public/img/center-task.c2eda91a.png)
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
![dialog-icon](https://csdnimg.cn/release/downloadcmsfe/public/img/green-success.6a4acb44.png)