千锤百炼第72炼 圆锥曲线中的面积问题.doc
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2022-10-14
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第 72 炼 圆锥曲线中的面积问题
一、基础知识：
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能
用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形
如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同
底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻
底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，
便于分析
4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）
（1）椭圆：设
P
为椭圆
( )
2 2
2 2
1 0
x y
a b
a b
+ = > >
上一点，且
1 2
F PF
q
Ð =
，则
1 2
2
tan
2
PF F
S b
q
=
V
（ 2 ） 双 曲 线 ： 设
P
为 椭 圆
( )
2 2
2 2
1 , 0
x y
a b
a b
- = >
上 一 点 ， 且
1 2
F PF
q
Ð =
， 则
1 2
2
1
cot
2
PF F
S b
q
= ×
V
二、典型例题：
例 1：设
1 2
,F F
为椭圆
2
2
1
4
x
y+ =
的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于
,P Q
两点，
当四边形
1 2
PF QF
的面积最大时，
1 2
PF PF×
uuur uuuur
的值等于___________
思路：由椭圆中心对称的特性可知
,P Q
关于原点中心对称，所以
1 2
PF FV
与
1 2
QF FV
关于原点
对称，面积相等。且四边形
1 2
PF QF
可拆成
1 2
PF FV
与
1 2
QF FV
的和，所以四边形
1 2
PF QF
的面
积最大即
1 2
PF FV
面积最大，因为
1 2
1 2
1
2
PF F p p
S F F y c y= × = ×
V
，所以当
p
y
最大时，
1 2
PF FV
面积最大。即
P
位于短轴顶点时，
1 2
PF FV
面积最大。由
2
2
1
4
x
y+ =
可知
2, 1, 3a b c= = =
，
所以
( )
( ) ( )
1 2
0,1 , 3,0 , 3,0P F F-
，进而计算出
1 2
PF PF×
uuur uuuur
的值为
2-
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