千锤百炼第89炼 比赛与闯关问题.doc
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2022-10-14
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第 89 炼 比赛与闯关问题
一、基础知识：
1、常见的比赛规则
（1）
n
局
m
胜制：这种规则的特点为一旦某方获得
m
次胜利即终止比赛。所以若比赛提前结
束，则一定在最后一次比赛中某方达到
m
胜。
例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取 5 局 3 胜制，已知甲获胜的概率为
2
3
，求甲以
3 :1
获胜的概率：
解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而
3
3
4
2 1 32
3 3 81
P C
æ ö æ ö
= =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
，因为如果前三局连胜，
则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为
3 :1
，则第四局甲获胜，前三局的比分为
2 :1
，
所以
2
2
3
2 1 2 24
3 3 3 81
P C
æ ö æ ö æ ö
= × =
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
（2）连胜制：规定某方连胜
m
场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后
m
场连胜且之前
没有达到
m
场连胜。
例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有 7 局，若有一方连胜 3 局，则比赛立即终止。已知甲
获胜的概率为
3
4
，求甲在第 5 局终止比赛并获胜的概率
解：若第 5 局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第 3,4,5 局获胜，且第二
局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。所
以
3
1 3 27
4 4 256
P
æ ö æ ö
= × =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
（3）比分差距制：规定某方比对方多
m
分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在
得分过程中要注意使两方的分差小于
m
（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。此类问题要注意若
达到第
m
阶段，则意味着前
( )
1m -
个阶段均能通关
2、解答此类题目的技巧：
（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。例如：
i
A
表示“第
i
局比赛胜利”，则
i
A
表示“第
i
局比赛失败”。
（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用
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