千锤百炼第94炼 极坐标与参数方程.doc
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2022-10-14
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第 94 炼 极坐标与参数方程
极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查
学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速
熟练的解决问题
一、基础知识：
（一）极坐标：
1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，
这样就建立了一个极坐标系
2、点坐标的刻画：用一组有序实数对
( )
,
r q
确定平面上点的位置，其中
r
代表该点到极点的
距离，而
q
表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：
[
)
0, 0,2
r q p
> Î
3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极
轴与
x
轴重合，则同一个点可具备极坐标
( )
,
r q
和直角坐标
( )
,x y
，那么两种坐标间的转化公
式为：
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
r q
r q
r
ì
=
ï
=
í
ï
= +
î
，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例
如 ： 极 坐 标 方 程
cos sin 1 1x y
r q r q
+ = Þ + =
（ 在 转 化 成
,x y
时 要 设 法 构 造
cos , sin
r q r q
，然后进行整体代换即可）
（二）参数方程：
1、 如果 曲线
( )
, 0F x y =
中的 变量
,x y
均可 以写 成关 于参 数
t
的函 数
( )
( )
x f t
y g t
=
ì
ï
í
=
ï
î
，那 么
( )
( )
x f t
y g t
=
ì
ï
í
=
ï
î
就称为该曲线的参数方程，其中
t
称为参数
2、参数方程与一般方程的转化：消参法
（1）代入消参：
( )
3
2 3 3
2 3
x t
y x
y t
= +
ì
Þ = + -
í
= +
î
（2）整体消参：
2
2
1
1
x t
t
y t
t
ì
= +
ï
ï
í
ï
= +
ï
î
，由
2
2
2
1 1
2t t
t t
æ ö
+ = + +
ç ÷
è ø
可得：
2
2x y= +
（3）平方消参：利用
2 2
sin cos 1
q q
+ =
消去参数
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