千锤百炼第15炼 求函数的单调区间.doc
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2022-10-14
11:10:15
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第 15 炼 函数的单调区间
单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调
区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程
中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：
1、函数的单调性：设
( )
f x
的定义域为
D
，区间
I DÍ
，若对于
1 2 1 2
, ,x x I x x" Î <
，有
( ) ( )
1 2
f x f x<
，则称
( )
f x
在
I
上单调递增，
I
称为单调递增区间。若对于
1 2 1 2
, ,x x I x x" Î <
，有
( ) ( )
1 2
f x f x>
，则称
( )
f x
在
I
上单调递减，
I
称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系
（1）函数
( )
f x
在
( )
,a b
可导，那么
( )
f x
在
( )
,a b
上单调递增
( )
'
, ( ) 0x a b f xÞ " Î ³，
此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，
无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：
( )
2
f x x=
的单调递增区间为
[
)
0 +¥，
，而
( )
'
0 0f =
，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为
( )
3
f x x=
在
0x =
处的导数为 0，但是
( )
0,0
位于单调区间内。
（2）函数
( )
f x
在
( )
,a b
可导，则
( )
f x
在
( )
,a b
上单调递减
( )
'
, ( ) 0x a b f xÞ " Î £，
（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由
( )
'
, ( )x a b f x" Î ，
的符
号能否推出
( )
f x
在
( )
,a b
的单调性呢？如果
( )
f x
不是常值函数，那么便可由导数的符号对
应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础）
3、利用导数求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域
（2）求出
( )
f x
的导函数
'
( )f x
（3）令
'
( ) 0f x >
（或
0<
），求出
x
的解集，即为
( )
f x
的单调增（或减）区间
（4）列出表格
4、求单调区间的一些技巧
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