千锤百炼第16炼 含参数函数的单调区间.doc
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2022-10-14
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第 16 炼 含参数函数的单调区间
在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分
析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加
快速准确的分析含参数函数的单调区间。
一、基础知识：
1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数
的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令
( )
'
0f x >
解不等式→得到递增区间后取定义域
的补集（减区间）→单调性列出表格
2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对
x
的限制有时会简化含参不等
式的求解
3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化
讨论的不等式
4、关于分类讨论的时机与分界点的确定
（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：
0x a- >
，其解集为
( )
,a +¥
，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数
a
为何值，均是将
a
移到
不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式
2
0x a- >
，第一步移项得：
2
x a>
（同样无论
a
为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现
a
的不同取值会导
致不同结果，显然
a
是负数时，不等式恒成立，而
a
是正数时，需要开方进一步求解集，分类
讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影
响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，
而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的
确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在
问题中所扮演的角色。例如上面的不等式
2
x a>
，
a
所扮演的角色是被开方数，故能否开方
是进行下一步的关键，那自然想到按
a
的符号进行分类讨论。
（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解
（4）当参数
a
扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角
色的情况以及是否要进行进一步的分类。
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