千锤百炼第26炼 求未知角的三角函数值.doc
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2022-10-14
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第 26 炼 求未知角的三角函数值
在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上
有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数
值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求
解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧
一、基础知识：
1、与三角函数计算相关的公式：
（1）两角和差的正余弦，正切公式：
①
( )
sin sin cos sin cos
a b a b b a
+ = +
②
( )
sin sin cos sin cos
a b a b b a
- = -
③
( )
cos cos cos sin sin
a b a b a b
+ = -
④
( )
cos cos cos sin sin
a b a b a b
- = +
⑤
( )
tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
a b
+
+ =
-
⑥
( )
tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
a b
-
- =
+
（2）倍半角公式：
①
sin 2 2sin cos
a a a
=
②
2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
a a a a a
= - = - = -
③
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
-
（3）辅助角公式：
( )
2 2
sin cos sina b a b
a a a j
+ = + +
，其中
tan
b
a
j
=
2、解决此类问题的方法步骤：
（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配
（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开
（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值
（4）将结果整体代入到运算式即可
3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定
其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围
有以下几个层次：
（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：
4 3
p p
a
æ ö
Î
ç ÷
è ø
，
，则
5
6 12 2
p p p
a
æ ö
+ Î
ç ÷
è ø
，
）
（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为
4
p
）
（4）通过题目中隐含条件判断角的范围。例如：
6
sin cos
5
a a
+ =
，可判断出
a
在第一象限
二、典型例题：
例 1：已知
3
sin
3 5
p
a
æ ö
+ =
ç ÷
è ø
，
,
2 6
p p
a
æ ö
Î -
ç ÷
è ø
，求：
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