千锤百炼第26炼 求未知角的三角函数值.doc

在解决三角函数中求未知角的问题时，我们通常会运用一系列的三角恒等式和公式。以下是关于如何求解未知角的三角函数值的关键知识点： 1. **两角和差的正余弦、正切公式**： - 正弦公式：`sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)` - 余弦公式：`cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ± sin(a)sin(b)` - 正切公式：`tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ± tan(a)tan(b))` 2. **倍半角公式**： - `sin(2a) = 2sin(a)cos(a)` - `cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)` 或 `cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)` 或 `cos(2a) = 2cos^2(a) - 1` - `tan(2a) = (2tan(a)) / (1 - tan^2(a))` 3. **辅助角公式**： - `(sinα ± cosα)^2 = 1 ± sin(2α)`，其中 `tanβ = √[1 - (cos(2α))^2]` 4. **解题步骤**： - 将未知角表示为已知角的组合。 - 使用三角函数和差公式展开。 - 利用已知角的象限和函数值确定其他函数值的正负。 - 整体代入并计算。 5. **确定角的范围**： - 通过不等式确定角的可能区间。 - 根据三角函数值的符号判断角所在的象限。 - 特殊角度的利用来缩小范围，通常以 `4π` 为周期。 - 题目中的隐藏信息也可以帮助确定范围。 在解题过程中，需要注意以下几点： - 当已知一个角的三角函数值时，需要先确定这个角的范围，因为这将影响其他三角函数值的正负。 - 利用已知角的函数值来求解未知角，可以简化计算，尤其是在已知角的函数值是特殊角的情况下。 - 方程法也是解决问题的一种手段，但有时可能较复杂，需要对比不同方法的简便程度。 通过典型例题我们可以看到，这些方法是如何被应用的。例如，例1中，利用已知的35°角和3π/2 - a的关系，结合三角函数的和差公式，逐步求解sina和sin2a的值。例2中，通过求解tan2a和b的值，运用了倍半角公式和余弦的乘积关系。例3中，根据已知的cos和sin值，结合三角函数关系求得sin(a + b)的值。 求解未知角的三角函数值，需要灵活运用三角恒等式，结合角的范围和象限信息，通过适当的代换和计算，最终得到答案。熟练掌握这些技巧和公式，能有效解决这类问题。