第 78 炼 圆锥曲线中的定值问题
一、基础知识:
所谓定值问题,是指虽然圆锥曲线中的某些要素(通常可通过变量进行体现)有所变化,
但在变化过程中,某个量的值保持不变即为定值。
1、常见定值问题的处理方法:
(1)确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示
(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否
得到一个常数。
2、定值问题的处理技巧:
(1)对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值,进而
给后面一般情况的处理提供一个方向。
(2)在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢
(3)巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算
二、典型例题:
例 1:已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为
,右焦点
,
双曲线的实轴为
,
为双曲线上一点(不同于
),直线
分别于直线
交于
两点
(1)求双曲线的方程
(2)试判断
是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,请说明理由
解:(1)由
可得
,且焦点在
轴上
所以设双曲线方程为:
,则渐近线方程为
由
解得:
双曲线方程为
(2)由(1)可得:
,设