千锤百炼第56炼 数列中的整数问题.doc
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2022-10-14
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第 56 炼 数列中的整数问题
一、基础知识：
1、整数的基本性质：
（1）整数的和，差，积仍为整数
（2）整数的奇偶性：若
( )
2 1n k k Z= + Î
，则称
n
为奇数；若
( )
2n k k Z= Î
，则称
n
为偶
数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：
① 奇数
±
奇数
=
偶数 ② 奇数
±
偶数
=
奇数
③ 偶数
±
偶数
=
偶数 ④ 奇数
´
偶数
=
偶数
⑤ 偶数
´
偶数
=
偶数 ⑥ 奇数
´
奇数
=
奇数
（3）若
,a b ZÎ
，且
a b<
，则
1a b£ -
（4）已知
, ,a b R a bÎ <
，若
n ZÎ
，且
( )
,n a bÎ
，则
n
只能取到有限多个整数（也有可能
无解）
（5）若
a
Z
b
Î
，称
a
能被
b
整除，则有：
①
b a£
②
b
为
a
的一个因数
（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数
2、整数性质的应用：
（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变
量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，
在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若
( )
, 2,5n N nÎ Î
，则
n
的取值只能是
3,4
。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找
等量关系，构造不等关系依然可以求解。
（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；
若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。
（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处
理方式有两个：
① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方
程的方程组，进而解出变量
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