千锤百炼第55炼 数列中的不等关系.doc
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2022-10-14
14:31:55
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第 55 炼 数列中的不等关系
一、基础知识：
1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数
列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点
2、如何判断数列的单调性：
（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于
n
的函数，然后通过函数的单调性来判断数
列的单调性。由于
n N
*
Î
，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，
但定义域为
( )
0,+¥
的函数，得到函数的单调性后再结合
n N
*
Î
得到数列的单调性
（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列
的单调性，通常的手段就是作差（与 0 比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与 1 比较，
但要求是正项数列）
3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的
{ } { }
,
n n
a b
是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识
来进行处理。比如：含
n
的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前
n
项和
n
S
也可看做数列
{ }
1 2
: , , ,
n n
S S S SL
等等。
4、对于某数列的前
n
项和
{ }
1 2
: , , ,
n n
S S S SL
，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用
函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：
1n n n
a S S
-
= -
，
所以
{ }
n
S
的增减由所加项
n
a
的符号确定。进而把问题转化成为判断
n
a
的符号问题
二、典型例题
例 1：已知数列
{ }
1
, 1
n
a a =
，前
n
项和
n
S
满足
( )
1
3 0
n n
nS n S
+
- + =
（1）求
{ }
n
a
的通项公式
（2）设
2
n
n
n
n
c
a
l
æ ö
= -
ç ÷
è ø
，若数列
{ }
n
c
是单调递减数列，求实数
l
的取值范围
解：（1）
( )
1
1
3
3 0
n
n n
n
S n
nS n S
S n
+
+
+
- + = Þ =
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