千锤百炼第66炼 直线与圆位置关系.doc
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2022-10-14
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第 66 炼 直线与圆位置关系
一、基础知识：
1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
2、圆的标准方程：设圆心的坐标
( )
,C a b
，半径为
r
，则圆的标准方程为：
( ) ( )
2 2
2
x a y b r- + - =
3、圆的一般方程：圆方程为
2 2
0x y Dx Ey F+ + + + =
（1）
2 2
,x y
的系数相同
（2）方程中无
xy
项
（3）对于
, ,D E F
的取值要求：
2 2
4 0D E F+ - >
4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：
（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径
为
r
，圆心到直线的距离为
d
，则：
① 当
r d>
时，直线与圆相交
② 当
r d=
时，直线与圆相切
③ 当
r d<
时，直线与圆相离
（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的
方程，再判断解的个数。设直线：
0Ax By C+ + =
，圆：
2 2
0x y Dx Ey F+ + + + =
，则：
2 2
0
0
Ax By C
x y Dx Ey F
+ + =
ì
í
+ + + + =
î
消去
y
可得关于
x
的一元二次方程，考虑其判别式的符号
①
0D >
，方程组有两组解，所以直线与圆相交
②
0D =
，方程组有一组解，所以直线与圆相切
③
0D <
，方程组无解，所以直线与圆相离
5、直线与圆相交：
弦长计算公式：
2 2
2 2AB AM r d= = -
6、直线与圆相切：
（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心
到切线的距离等于半径
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