千锤百炼第100炼 利用同构特点解决问题.doc
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2022-10-14
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第 100 炼 利用同构特点解决问题
一、基础知识：
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程
( )
0f a =
和
( )
0f b =
呈现同构特征，则
,a b
可视为方程
( )
0f x =
的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函
数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式
（3）在解析几何中的应用：如果
( ) ( )
1 1 2 2
, , ,A x y B x y
满足的方程为同构式，则
,A B
为方程所
表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线
AB
的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于
( )
,
n
a n
与
( )
1
, 1
n
a n
-
-
的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
二、典型例题：
例 1：（2015 天津十二校联考）设
,x y RÎ
，满足
( ) ( )
( ) ( )
5
5
1 2 sin 1 3
1 2 sin 1 1
x x x
y y y
ì
- + + - =
ï
í
- + + - =
ï
î
，则
x y+ =
（ ）
A.
0
B.
2
C.
4
D.
6
思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非
,x y
， 而 是
( ) ( )
1 , 1x y- -
， 进 而 可 变 形 为
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
5
1 2 1 sin 1 1
1 2 1 sin 1 1
x x x
y y y
ì
- + - + - =
ï
í
- + - + - = -
ï
î
，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构
视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性
质求解
解：
( ) ( )
( ) ( )
5
5
1 2 sin 1 3
1 2 sin 1 1
x x x
y y y
ì
- + + - =
ï
Þ
í
- + + - =
ï
î
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
5
1 2 1 sin 1 1
1 2 1 sin 1 1
x x x
y y y
ì
- + - + - =
ï
í
- + - + - = -
ï
î
设
( )
5
2 sinf t t t t= + +
，可得
( )
f t
为奇函数，由题意可得：
( )
( )
1 1
1 1
f x
f y
- =
ì
ï
í
- = -
ï
î
( ) ( )
1 1f x f y\ - = - -
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