千锤百炼第20炼 一元不等式的证明.doc
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2022-10-14
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第 20 炼 一元不等式的证明
利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题，考察学生构造函
数选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不
等式。此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置。
一、基础知识：
1、证明方法的理论基础
（1）若要证
( )
f x C<
(
C
为常数）恒成立，则只需证明：
( )
max
f x C<
，进而将不等式的证
明转化为求函数的最值
（2）已知
( ) ( )
,f x g x
的公共定义域为
D
，若
( ) ( )
min max
f x g x>
，则
( ) ( )
,x D f x g x" Î >
证明：对任意的
1
x DÎ
，有
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
min max
,f x f x g x g x³ £
\
由不等式的传递性可得：
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
min max
f x f x g x g x³ > >
，即
( ) ( )
,x D f x g x" Î >
2、证明一元不等式主要的方法有两个：
第一个方法是将含
x
的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通
过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对
于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性
第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为
( ) ( )
f x g x>
的形式，
若能证明
( ) ( )
min max
f x g x>
，即可得：
( ) ( )
f x g x>
，本方法的优点在于对
x
的项进行分割
变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。但缺点是局限性较强，如果
( )
min
f x
与
( )
max
g x
不满足
( ) ( )
min max
f x g x>
，则无法证明
( ) ( )
f x g x>
。所以用此类方法解题的情况
不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。
3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则。
4、若在证明
( )
0f x >
中，解析式
( )
f x
可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进
行讨论，进而简化所构造函数的复杂度。
5、合理的利用换元简化所分析的解析式。
6、判断解析式符号的方法：
（1）对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符
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