千锤百炼第97炼 不等式选讲.doc
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2022-10-14
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第 97 炼 不等式选讲
一、基础知识：
（一）不等式的形式与常见不等式：
1、不等式的基本性质：
（1）
a b b a> Û <
（2）
,a b b c a c> > Þ >
（不等式的传递性）
注：
,a b b c a c³ ³ Þ ³
，
a c³
等号成立当且仅当前两个等号同时成立
（3）
a b a c b c> Þ + > +
（4）
, 0 ; , 0a b c ac bc a b c ac bc> > Þ > > < Þ <
（5）
( )
0 2,
n n
a b a b n n N> > Þ > ³ Î
（6）
( )
0 2,
n n
a b a b n n N> > Þ > ³ Î
2、绝对值不等式：
a b a b a b- £ + £ +
（1）
a b a b+ £ +
等号成立条件当且仅当
0ab ³
（2）
a b a b- £ +
等号成立条件当且仅当
0ab £
（3）
a b b c a c- + - ³ -
：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且
仅当
( )( )
0a b b c- - ³
3、均值不等式
（1）涉及的几个平均数：
① 调和平均数：
1 2
1 1 1
n
n
n
H
a a a
=
+ + +L
② 几何平均数：
1 2
n
n n
G a a a= L
③ 代数平均数：
1 2 n
n
a a a
A
n
+ + +
=
L
④ 平方平均数：
2 2 2
1 2 n
n
a a a
Q
n
+ + +
=
L
（2）均值不等式：
n n n n
H G A Q£ £ £
，等号成立的条件均为：
1 2 n
a a a= = =L
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