千锤百炼第31炼 解三角形的要素.doc
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2022-10-14
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第 31 炼 解三角形中的要素
一、基础知识：
1、正弦定理：
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
，其中
R
为
ABCV
外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具
备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）
2 2 2 2 2 2
sin sin sin sin sinA B A B C a b ab c+ - = Û + - =
（2）
cos cos sin cos sin cos sinb C c B a B C C B A+ = Þ + =
（恒等式）
（3）
2 2
sin sin
sin
bc B C
a A
=
2、余弦定理：
2 2 2
2 cosa b c bc A= + -
变式：（1）
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
+ -
=
① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出
A
是钝角还是锐角
当
2 2 2
b c a+ >
时，
cos 0A >
，即
A
为锐角；
当
2 2 2
b c a+ =
（勾股定理）时，
cos 0A =
，即
A
为直角；
当
2 2 2
b c a+ <
时，
cos 0A <
，即
A
为钝角
② 观察到分式为齐二次分式，所以已知
, ,a b c
的值或者
: :a b c
均可求出
cos A
（2）
( ) ( )
2
2
2 1 cosa b c bc A= + - +
此公式在已知
b c+
和
bc
时不需要计算出
,b c
的值，进
行整体代入即可
3、三角形面积公式：
（1）
1
2
S a h= ×
（
a
为三角形的底，
h
为对应的高）
（2）
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ac B= = =
（3）
( )
1
2
S a b c r= + + ×
（
r
为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）
（4）海伦公式：
( )( )( ) ( )
1
,
2
S p p a p b p c p a b c= - - - = + +
（5）向量方法：
( )
( )
2
2
1
2
S a b a b= × - ×
r r r r
（其中
,a b
r r
为边
,a b
所构成的向量，方向任意）
证明：
( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
sin sin 1 cos
2 4 4
S ab C S a b C a b C= Þ = = -
( ) ( )
2 2
1
cos
2
S ab ab C\ = -
，而
cosa b ab C× =
r r
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