千锤百炼第63炼 立体几何中的建系设点问题.doc
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2022-10-14
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第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题
在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，
不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标
系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
1、
z
轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即
z
轴要与坐标平面
xOy
垂直，在几何体中也是很直观的，垂直
底面高高向上的即是，而坐标原点即为
z
轴与底面的交点
2、
,x y
轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么
几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于
,x y
轴上
（2）找角：
,x y
轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂
直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足
, ,x y z
轴成右手系，所以在
标
,x y
轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应
不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致
的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐
标轴为两两垂直（即一个线面垂直
+
底面两条线垂直），这个
过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论：
（1）线面垂直：
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直
（2）线线垂直（相交垂直）：
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若
2 2 2
AB AC BC+ =
，则
AB AC^
（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为 3 类
1、能够直接写出坐标的点
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qingguo1979
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