千锤百炼第88炼 含有条件概率的随机变量问题.doc
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2022-10-14
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第 88 炼 含有条件概率的随机变量问题
一、基础知识：
1、条件概率：事件
B
在事件
A
已经发生的情况下，发生的概率称为
B
在
A
条件下的条件概
率，记为
|B A
2、条件概率的计算方法：
（1）按照条件概率的计算公式：
( )
( )
( )
|
P AB
P B A
P A
=
（2）考虑事件
A
发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件
B
在这种情况下的概率
例如：5 张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，
则乙中奖的概率：
按照（1）的方法：设事件
A
为“甲没中奖”，事件
B
为“乙中奖”，则所求事件为
|B A
，按
照公式，分别计算
( ) ( )
,P AB P A
，利用古典概型可得：
( )
2
5
4 1
5
P AB
A
= =
，
( )
4
5
P A =
，所
以
( )
( )
( )
1
|
4
P AB
P B A
P A
= =
按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有 4 张奖券，1 张有奖。那么轮
到乙抽时，乙抽中的概率即为
1
4
3、含条件概率的乘法公式：设事件
,A B
，则
,A B
同时发生的概率
( ) ( ) ( )
|P AB P A P B A= ×
，此时
( )
|P B A
通常用方案（2）进行计算
4、处理此类问题要注意以下几点：
（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响
（即后面的事件算的是条件概率）
（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别
（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取
值时的概率，然后用间接法解决。
二、典型例题：
例 1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为
1, 2,3
，从袋中每次取出一个球，若取到的球的
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