千锤百炼第41炼 指对数比较大小.doc
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2022-10-14
14:20:51
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第 41 炼 指对数比较大小
在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进
行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方
法与技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为
( )
0,1
和
( )
1, +¥
（1）如果底数和真数均在
( )
0,1
中，或者均在
( )
1, +¥
中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在
( )
0,1
中，一个在
( )
1, +¥
中，那么对数的值为负数
例如：
3 0.5 2
log 0.5 0,log 0.3 0,log 3 0< > >
等
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的
单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某
一部分相同的情况
例如：
1
1 1
3
4 2
3 ,4 ,5
，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
( ) ( ) ( )
1
1 1
1 1 1
4 3 6
3
4 2
12 12 12
3 3 ,4 4 ,5 5= = =
，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，
然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有
一 些 题 目 需 要 选 择 特 殊 的 常 数 对 所 比 较 的 数 的 值 进 行 估 计 ， 例 如
2
log 3
， 可 知
2 2 2
1 log 2 log 3 log 4 2= < < =
，进而可估计
2
log 3
是一个 1 点几的数，从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：
（1）
n
m
m
n
a a
æ ö
=
ç ÷
è ø
（2）
log log log
a a a
M N MN+ =
log log log
a a a
M
M N
N
- =
（3）
( )
log log 0, 1, 0
n
a a
N n N a a N= > ¹ >
（4）换底公式：
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
进而有两个推论：
1
log
log
a
b
b
a
=
（令
c b=
）
log log
m
n
a
a
n
N N
m
=
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