17-18-2 线性代数 期末试卷1
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合 肥 工 业 大 学 试 卷 （ A ）
共 1 页第 1 页
2017～2018 学年第 二 学期 课程代码 1400071B 课程名称 线性代数 学分 2.5 课程性质:必修、选修、限修 考试形式:开卷、闭卷
专业班级（教学班） 考试日期 2018 年 5 月 8 日 8:00-10:00 命题教师 集体 系（所或教研室）主任审批签名
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1．已知
1 0 1
3 1 2
2 3 1
A
，
ij
A
表示
A
中元素
ij
a
的代数余子式，则
11 12 13
2 3A A A
．
2．设矩阵
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
，
0 0 1
0 1 0
1 0 0
P
，
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Q
，则
20 21
P AQ
．
3. 设三阶方阵
,A B
相似，且
A
的特征值分别为
1 1 1
, , ,
3 4 5
则
1
2
B E
．
4．设
1 2 2
2 1 2
3 0 4
A
，
( ,1,1)
T
xα
，已知
A
α
与
α
线性相关，求
x
．
5. 设
Ax b
是
3
元非齐次线性方程组，若矩阵
A
的秩为
2
，且
1
1
0
1
ξ
，
2
1
5
3
ξ
是其两个特解，则
Ax b
的通解是 ．
二、选择题（每小题 4 分，共计 20 分）
1．已知
1 2 3
2 4
3 6 9
Q
t
，
P
为 3 阶非零矩阵,且满足
0
PQ
，则( )．
(A)
6
t
时,
P
的秩必为 1；
(B)
6
t
时,
P
的秩必为 2；
(C)
6
t
时,
P
的秩必为 1；
(D)
6
t
时,
P
的秩必为 2．
2．设
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 1 1
= 0 = 1 = 1 = 1
, , ,
c c c c
，其中
1 2 3 4
c c c c, , ,
为任意常数，则下列向量组线性相关
的为( )．
(A)
1 2 3
, ,
；
(B)
1 2 4
, ,
；
(C)
1 3 4
, ,
；
(D)
2 3 4
, ,
．
3. 设向量
可由向量组
1 2
, , ,
m
线性表示，但不能由向量组（I）
1 2 1
, , ,
m
线性表示，又记
向量组（II）
1 2 1
, , , ,
m
，则（ ）．
(A)
m
不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示；
(B)
m
不能由（I）线性表示，但能由（II）线性表示；
(C)
m
能由（I）线性表示，也能由（II）线性表示；
(D)
m
能由（I）线性表示，但不能由（II）线性表示．
4. 已知
1 2 3
, ,
是
0
Ax
的一组基础解系，下列结论正确的是（ ）．
(A)
1 2 2 3 3 1
, ,
也是
0
Ax
的一组基础解系；
(B)
1 2 3
, ,
与
1 2 3
, ,
等秩，则
1 2 3
, ,
也是
0
Ax
的一组基础解系；
(C)
1 2 3 4
, , ,
与
1 2 3
, ,
等价，则
1 2 3 4
, , ,
也是
0
Ax
的一组基础解系；
(D)
1 2 3
, ,
与
1 2 3
, ,
等价，则
1 2 3
, ,
也是
0
Ax
的一组基础解系．
5. 设
A
为正交阵，且
1
A
，则必有
A
（ ）．
(A)
T
A
；
(B)
T
A
；
(C)
A
；
(D)
A
．
三、（8 分）设
E
为
3
阶单位阵，
2 0 0
0 1 0
0 0 1
A
，求满足
2 4
*
A BA BA E
的矩阵
B
．
四、（12 分） 设向量组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
, , ,
1 2 3 4
1 2 3 4
x
x
x
x
α α α α
，其中
0
x
，且矩阵
1 2 3 4
( , , , )
A
，(1)求行列式
A
；(2)
x
为何值时，
4321
,,,
线性相关？(3)当
4321
,,,
线性
相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示．
五、（12 分）设方程组
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1,
,
,
x x x
x kx x k
x x k x k
（1）
k
取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．
六、（12 分）已知三阶实对称阵
A
的特征值为
1,2
321
，且对应于
1
32
的特征向量为
2
1
1
0
，
3
2
2
1
．（1）求
A
的对应于
2
1
的特征向量； （2）求
A
.
七、（12 分）求一个正交变换
x Py
，将二次型
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 2 2
f x x x x x x x x x
化为标准形．
八、（4 分）设
A
是
mn
矩阵，
B
是
nm
矩阵其中
mn
，
n
AB E
，证明：矩阵
B
的列向量组线
性无关．
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