16-17-2 线性代数 期末试卷1
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合 肥 工 业 大 学 试 卷 ( A )
共 1 页第 1 页
2016～2017 学年第 二 学期 课程代码 1400071B 课程名称 线性代数 学分 2.5 课程性质:必修、选修、限修 考试形式:开卷、闭卷
专业班级（教学班） 考试日期 2017 年 5 月 2 日 8:00-10:00 命题教师 集体 系（所或教研室）主任审批签名
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已 知
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
2 2 3 4
A
， 设
4
( 1, 2, 3,4)
j
A j
是
A
中 元 素
4 j
a
的 代 数 余 子 式 ， 则
A A A A
41 42 43 44
_____
．
2．已知三阶方阵
A
满足
0
A
，
0
A E
及
2 0
A E
，且
A
与
B
相似，则
_______
B E
．
3．设
1 2 2
4 3
3 1 1
A t
，
B O
，且
AB O
，则
_________t
．
4．设
, ,
1 2 3
为
Ax
0
的基础解系，则
1 2 2 3 3 1
, ,
也是
Ax
0
的基础解系的充要条
件是 ．
5．当
t
值取 时，二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 5 4 2 2
f x x x x x tx x x x x x x
是正定的．
二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 下列说法错误的是（ ）．
（A）若向量组
1 2 3
, ,
线性无关，则其中任意两个向量线性无关
（B）若向量组
1 2 3
, ,
中任意两个向量线性无关，则向量组
1 2 3
, ,
线性无关
（C）向量组
1 2 2 3 3 1
, ,
线性相关
（D）若向量组
1 2 3
, ,
线性无关，则向量组
1 1 2 1 2 3
, ,
也线性无关
2. 设
,A B
均为
n
阶方阵，则下列关系正确的有（ ）个．
（I）
* *
AA = A A
（II）
T T T
AB = B A
( )
（III）
A + B A + AB + B
2 2 2
( ) 2
（IV）
2
( )( )
A + E A E = A E
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3. 已知
1 2
,
为非齐次线性方程组
Ax b
的两个不同的解，
,
1 2
是对应的齐次线性方程组
0
Ax
的基础解系，
1 2
,k k
为任意常数，则方程组
Ax b
的通解是（ ）．
（A）
( )
1 1 2 2 2 1
1
2
k k
（B）
( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
1 3
4 4
k k
（C）
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 2 1 1 2
1
2
k k
（D）
( )
1 1 2 2 1
k k
4. 已知
1
，
2
是齐次线性方程组
( ) 0
A E x
的两个不同解向量，则下列向量中，必是
A
的对应于特征
值
的特征向量为（ ）．
（A）
1
（B）
2
（C）
1 2
（D）
1 2
5. 已知矩阵
0 2
4 4
2 4 3
a
A a
（
a
为整数）
与
1 0 0
0 6 0
0 0
B
b
相似，则
a
及
b
的值分别为（ ）．
（A）
2, 6
a b
（B）
0, 6
a b
（C）
2, 6
a b
（D）
0, 3
a b
三、（10 分）设向量组
1
1
2
1
3
，
2
0
1
2
1
，
3
3
7
1
8
，
4
1
0
5
5
，求此向量组的秩及一个极大线
性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示．
四、（10 分）设三阶方阵
A
，
B
满足关系式
1
6
A BA A BA
，求矩阵
B
，其中
1
0 0
3
1
0 0
4
1
0 0
7
A
.
五、（14 分）已知线性方程组
1 2
1 3
1 2 3
1,
1,
.
x x
x x
x ax x b
（1）常数
a b，
取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．
六、（8 分）设
A
为三阶实对称矩阵，特征值是
, ,0 1 1
，而
2
1
和
3
1
的特征向量分别是
2
0
2 1
1
p a
，
3
1
1 3
a
p
a
． （1）求
a
的值； （2）求矩阵
A
及
100
A
．
七、（14 分）已知二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
( , , ) (1 ) (1 ) 2 2(1 )
f x x x x a x x a x x
a
的秩为 2．
（1）求
a
的值；
（2）求化二次型
1 2 3
( , , )f x x x
为标准形的正交变换，并指出方程
1 2 3
( , , ) 1
f x x x
表示何种二次曲面．
八、（4 分）已知
A
与
A E
均为正定矩阵，判定
1
E A
是否为正定矩阵？说明理由．
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