16-17-1 线性代数 期末试卷1
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合 肥 工 业 大 学 试 卷 ( A )
共 1 页第 1 页
2016～2017 学年第 一
学期 课程代码 1400071B 课程名称 线性代数 学分 2.5 课程性质：必修þ、选修¨、限修¨ 考试形式:开卷¨、闭卷þ
专业班级（教学班） 考试日期 命题教师 集体 系（所或教研室）主任审批签名
命题教师注意事项：1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、填空题（每小题 4分，共 20分）
1.设
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
a a a
a a a
a a a
=
，则
11 11 12 13
21 21 22 23
31 31 32 33
4 2 3
4 2 3
4 2 3
a a a a
a a a a
a a a a
−
− =
−
．
2.设
n
阶方阵
A
的行列式
1
3
A =
，则
1
1
( ) 15
3
A A
− ∗
− =
．
3.设方阵
A
满足
2
2 3
A A E O
+ − = ，则
1
( 4 )
A E
−
+ = ．
4. 设
A
是三阶矩阵，特征值为
, ,
1 2 3
，则
2
A E
+ =
．
5. 当常数
t
满足 时，二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 5 4 2 2
f x x x x x x x x x x tx x
= + + + − +
正定.
二、选择题（每小题 4分，共 20分）
1.设
A
是
m n
×
矩阵，
B
是
n m
×
矩阵，则（ ）.
（A）当
m n
>
时，必有
0AB ≠
（B）当
m n
>
时，必有
0AB =
（C）当
n m
>
时，必有
0AB ≠
（D）当
n m
>
时，必有
0AB =
2.设
A
是 3阶方阵，将
A
的第 2行加到第 1行得
B
，再将
B
的第 1列的
1
−
倍加到第 2列得
C
，记
,
100
010
011
=P
则（ ）．
（A）
APPC
1−
=
（B）
1−
= PAPC
（C）
APPC
T
=
（D）
T
PAPC =
3.
, ,
α β γ
线性无关，
, ,
α β δ
线性相关，则（ ）．
（A）
α
必可由
, ,
β γ δ
线性表示 （B）
β
必不可由
, ,
α γ δ
线性表示
（C）
δ
必可由
, ,
α β γ
线性表示 （D）
δ
必不可由
, ,
α β γ
线性表示
4.已知
A
是
4 5
×
的矩阵，
1 2
,
ξ ξ
是
0Ax
=
的一个基础解系，则（ ）
（A）
( ) 2r A
=
（B）
1 2 2 1
,
ξ ξ ξ ξ
− −
是
0Ax
=
的一个基础解系
（C）
1 2 2 1
,
ξ ξ ξ ξ
− +
是
0Ax
=
的一个基础解系 （D）
1 2
( ),
k R
k
ξ ξ
+ ∈
是
0Ax
=
的通解
5.设
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A
=
，
4 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
B
=
，则
A
与
B
（ ）.
（A）合同且相似 （B）合同但不相似 （C）不合同但相似 （D）不合同且不相似
三、（本题满分 8分）计算
1
2
3
1 1 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
n
n
x
x
D x
x
=
L
L
L
M
L
( 0, 1,2, , )
i
x i n
≠ =
L
．
四、（本题满分 10分） 设三阶方阵
,
A B
满足关系式：
1
6
A BA A BA
−
= +
，且
1
0 0
3
1
= 0 0
4
1
0 0
7
A
，求
B
．
五、（本题满分 12分） 设四维列向量组
1 2 3 4
(1 ,1,1,1) , (2,2 ,2,2) , (3,3,3 ,3) , (4, 4,4,4 ,)
T T T T
a a a a
α α α α
= + = + = + = +
，
（I）问
a
为何值时，
1 2 3 4
, , ,
α α α α
线性相关？（II）当
1 2 3 4
, , ,
α α α α
线性相关时，求其一个极大线性
无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示．
六、（本题满分 12分）设矩阵
A
=
2 2 0
8 2
0 0 6
a
相似于对角矩阵
Λ
，求常数
a
的值．
七、（本题满分 14分）已知二次型
2 2
1 2 3 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 4 3 4 4 8f x x x x x x x x x x x= − + − +
．
（Ⅰ）写出二次型
f
的矩阵表达式；
（Ⅱ）用正交变换把二次型
f
化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
八、（本题满分 4分）设
( 1,2, , )
i
i n
α
=
L
( 1)n
>
为
n
维列向量，记矩阵
1 2
( , , , )
n
A
α α α
=
L
，若
0A =
且
A
有一个代数余子式
11
0,A ≠
求方程组
0A x
∗
=
的通解．
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