17-18-1 线性代数 期末试卷_16级1
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合 肥 工 业 大 学 试 卷 ( A )
共 1 页第 1 页
2017～2018 学年第 一 学期 课程代码 1400071B 课程名称 线性代数 学分 2.5 课程性质:必修、选修、限修 考试形式:开卷、闭卷
专业班级（教学班） 考试日期 2017 年 11 月 17 日 命题教师 集体 系（所或教研室）主任审批签名
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1.已知
0 0 0 1
0 0 0
1
0 2 0 0
1 0 0
a
a
，则
a
_________．
2．已知矩阵
2 1 1
4 2 1
2 1 1
A a
且
( ) 2
R A
，则
a
_________．
3．设矩阵
A
与
B
相似，其中
1 2 4
0 3 6
0 0 5
B
，则
A E
__ __．
4．设矩阵
A
与
B
相似，其中
1 2 3
1 2
0 0 1
A x
，已知矩阵
B
有特征值 1，2，3，则
x
．
5．已知二次型
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
2 2
f tx x x tx x x x
正定，则
t
的取植范围是__ _____．
二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设
A
,
B
均为
n
阶矩阵，下列关系一定成立的是（ ）．
（A）
2 2 2
( )
AB A B
（B）
AB BA
（C）
A B A B
（D）
( )
T T T
AB A B
2. 设
A
为
n
阶矩阵，且
0,
A
则（ ）．
（A）
A
的列秩等于零
（B）
A
的秩为零
（C）
A
中任一列向量可由其他列向量线性表示
（D）
A
中必有一列向量可由其他列向量线性表示
3. 设
A
为
n
阶实对称矩阵，则（ ）．
（A）
A
的
n
个特征向量两两正交
（B）
A
的
n
个特征向量组成单位正交向量组
（C）若
A
的
k
重特征值为
0
，则有
0
( )
R A E n k
（D）若
A
的
k
重特征值为
0
，则有
0
( )
R A E k
4.
A
为
n
阶实对称矩阵，则
A
是正定矩阵的充要条件是（ ）．
（A）二次型
T
x Ax
的负惯性指数为零 （B）存在
n
阶矩阵
C
，使得
T
A C C
（C）
A
没有负特征值 （D）
A
与单位矩阵合同
5.
如果二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 2 2
f x x x x ax x bx x x x x x
经过正交变换
x Py
化为标准形
2 2
2 3
4 ,f y y
则
（ ）．
（A）
3, 1
a b
（B）
3, 1
a b
（C）
3, 1
a b
（D）
3, 1
a b
三、（8 分）设向量组
1
(1, 1, 2, 4) ,
T
2
(0,3,1, 2) ,
T
3
(3,0, 7,14) ,
T
4
1, 2, 2,0
T
，求此向量组的
一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示．
四、（12 分）
取何值时，线性方程组
2
,2
,3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
无解、有唯一解、有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求其通解.
五、（8 分）如果向量
(1, )
T
k
是矩阵
3 1
5 1
A
的逆矩阵
1
A
的特征向量，求常数
k
的值．
六、（12 分） 设三阶对称阵
A
的特征值为
1 2 3
6, 3
．若与特征值
1
6
对应的特征向量为
1
(1,1,1)
T
p
，求
A
．
七、（15 分）设实对称矩阵
0 1 0
1 0 0
0 0 2
A
．
（1）分别写出以
A
，
1
A
为系数矩阵的二次型；
（2）求一个正交变换
x Py
将二次型
1 2 3
( , , )
T
f x x x x Ax
化为标准形．
八、（5 分）设
1 2
,
是
n
阶矩阵
A
的两个不同特征值，对应的特征向量分别为
1 2
,
．试证
1 1 2 2 1 2
( ,
c c c c
为非零常数）不是
A
的特征向量．
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