18-19-1 线性代数 期末试卷1
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合 肥 工 业 大 学 试 卷 （ A ）
共 1 页第 1 页
2018～2019 学年第 一 学期 课程代码 1400071B 课程名称 线性代数 学分 2.5 课程性质：必修、选修、限修 考试形式:开卷、闭卷
专业班级（教学班） 考试日期 2018.11.21 命题教师 集体 系（所或教研室）主任审批签名
命题教师注意事项：1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、 填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设
3
阶行列式
D
的第一行元素为
1, 2, 3
，且对应的余子式为
3, 3,1
，则
D
.
2. 设
1 2
1 1
A
，且
2
2B A A E
，则
n
B
.
3.
设向量
0
3
a
可由向量组
1 2
1 1
1 , 2
1 3
线性表示
，则
a
.
4.
设
1 2
,
为非齐次线性方程组
Ax
的两个特解，
,a b
为实数，若
1 2
a b
为对应齐次线性方
程组
0
Ax
的解，而
1 2
a b
仍为非齐次方程组
Ax
的解，则
2 4a b
.
5. 设 二 次 型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
( , , ) 2 2 2
f x x x x x x x x tx x
为 正 定 二 次 型 ， 则 参 数
t
的 取 值 范 围
为 .
二、 选择题（每小题 4 分，共 20 分）
1.
设
,A B
为
n
阶可逆矩阵，则下列等式中正确的是（
）
.
A.
( )
T T T
A B AB
B.
1 1 1
( )A B AB
C.
* * *
( )A B AB
D.
A B AB
2. 设
,A B
为
3
阶非零矩阵，满足
AB O
，且
( ) 2
R B
，
则
( )R A
（ ）.
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
3.
设
A
为
3 4
的矩阵，且
( ) 3
r A
，则
A
的（
）
.
A.
行向量组线性相关，列向量组线性无关
B.
行向量组线性无关，列向量组线性相关
C.
行、列向量组均线性相关
D.
行、列向量组均线性无关
.
4.
A
为
3
阶方阵，将
A
的第一行和第二行对换得到
B
，再将
B
的第二列加到第一列得到
C
，令
0 1 0
1 0 0
0 0 1
P
，
1 0 0
1 1 0
0 0 1
Q
则
,A C
的关系为（
）
.
A.
QAP C
B.
QPA C
C.
PAQ C
D.
APQ C
5. 设
=2
是矩阵
A
的特征值，
4
A
，则矩阵
* 2
3A A E
有特征值（ ）.
A.
3
B.
3
C.
3
2
D.
3
2
三、（本题满分 10 分）已知矩阵
1 0
0 2
A
和
1 0
0 1
B
，若矩阵
X
和
Y
满足：
( ) 2A X Y B E
，
2
X XY E
，求矩阵
X
和
Y
.
四、（本题满分 10 分）向量组
1 2 3 4
1 1 2 1
1 2 3 1
, , ,
2 1 5
1 1 4 1
，
当参数
为何值时线性
相关，相关时求其最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示.
五、（本题满分 12 分）设线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(2 ) 2 2 1
2 (5 ) 4 2
2 4 ( 5) 1
x x x
x x x
x x x
，
（Ⅰ）求系数行列式
A
；
（Ⅱ）问常数
分别为何值时，线性方程组有惟一解、无解及无穷多解？并在无穷多解时求其
通解.
六、（本题满分
10
分）设
A
为
3
阶实对称矩阵，其特征值为
1 2 3
1, 1
，且
1
1
对应的
特征向量为
1
0,1,1
T
，求
A
的所有特征值和其对应的特征向量，并求
A
.
七、（本题满分 12 分）设有二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
( , , ) 2 2 6 10
f x x x x x x x x
，求正交变换
x Qy
，使
二次型化为标准形.
八、（本题满分
6
分）设
1 2 3
, ,
是齐次线性方程组的基础解系，
1 1 2
，
2 2 3
，
3 3 1
，证明
1 2 3
, ,
可作为该方程组的基础解系.
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