18-19-2 线性代数 期末试卷1
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合 肥 工 业 大 学 试 卷 ( A )
共 1 页第 1 页
2018～2019 学年第 二 学期 课程代码 1400071B 课程名称 线性代数 学分 2.5 课程性质:必修、选修、限修 考试形式:开卷、闭卷
专业班级（教学班） 考试日期 2019 年 5 月 7 日 8:00-10:00 命题教师 集体 系（所或教研室）主任审批签名
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设矩阵
110
021
211
A
， 则
AA
___________
．
2．设方阵
A
满足
2
2 3
A A E O
，则
1
( 4 ) =
A E
___________
．
3．设矩阵
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
A
，则
3
A
的秩为
___________
．
4 ． 设
321
,,
是 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组
bAx
的 三 个 解 向 量 ， 且 秩
1
( ) 3, (1, 2,3, 4)
T
r A
，
2 3
(0,1, 2,3)
T
, 则非齐次线性方程组
bAx
的通解
x
=
___________
．
5．二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 4 4 4
a x x x x x x x x x
经过正交变换后化为
2
1
6y
, 则
a
___________
.
二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设
A
和
B
均为
nn
矩阵，则必有（ ）
)( A
2 2 2
( ) = 2
A B A AB B
)(B
2 2
=( )( )A B A B A B
)(C
2 2 2
( ) =
AB A B
)(D
AB BA
2. 设有向量组
)4,2,1,1(
1
，
)2,1,3,0(
2
，
)14,7,0,3(
3
，
)0,2,2,1(
4
，
)10,5,1,2(
5
，则
该向量组的极大线性无关组是( )
)(A
321
,,
)(B
421
,,
)(C
521
,,
)(D
5421
,,,
3. 已知
1 2 3
, ,
是齐次线性方程组
0
Ax
的一组基础解系,下列结论正确的是（ ）
)(A
1 2 2 3 3 1
, ,
也是
0
Ax
的一组基础解系
)(B
1 2 3
, ,
与
1 2 3
, ,
等秩,则
1 2 3
, ,
也是
0
Ax
的一组基础解系
)(C
1 2 3 4
, , ,
与
1 2 3
, ,
等价,则
1 2 3 4
, , ,
也是
0
Ax
的一组基础解系
)(D
1 2 3
, ,
与
1 2 3
, ,
等价,则
1 2 3
, ,
也是
0
Ax
的一组基础解系
4. 设
n
阶矩阵
A
与
B
等价，则必有( )
)(A
当
)0( aaA
时，
aB
)(B
当
)( 0 aaA
时，
aB
)(C
当
0A
时，
0B
)(D
当
0A
时，
0B
5. 设
A
为
n
阶可逆矩阵，
是
A
的一个特征值，则
A
的伴随矩阵
*
A
的特征值之一是（ ）
)(A
A
1
)(B
n
A
1
)(C
A
)(D
n
A
三、（8 分）
求
行列式
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4 3 2 1
.
四、（10 分）已知
1 1 1
0 1 1
0 0 1
A
，且
EABA
2
，其中
E
是三阶单位矩阵，求矩阵
B
.
五、（12 分）
,a b
取何值时，非齐次线性方程组
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
2 1
2 3 ( 2) 4 3
3 5 ( 8) 5
x x x x
x x x
x x a x x b
x x x a x
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？
六、（14 分） 判断
1 1 1
0 0 0
0 0 0
A
是否可对角化，若能对角化，求一个可逆矩阵
P
使得
1
P AP
（
为对角阵）.
七、（10 分）已知向量
1 2
,
线性无关，
1 2 3
, ,
线性相关，证明：
3
可由
1 2
,
线性表示且表示式惟一．
八、（6 分）设
A
为
m
阶实对称正定矩阵，
B
为
nm
实矩阵，
T
B
为
B
的转置矩阵，试证：
ABB
T
为正定矩
阵的充分必要条件是
B
的秩
( )
r B n
.
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