19-20-1 线性代数 期末试卷1
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合 肥 工 业 大 学 试 卷 （ A ）
共 1 页第 1 页
2019～2020 学年第 一
学期 课程代码 1400071B 课程名称 线性代数 学分 2.5 课程性质:必修、选修、限修 考试形式:开卷、闭卷
专业班级（教学班）
考试日期 2019 年 12 月 1 日 19:00-21:00 命题教师 集体 系（所或教研室）主任审批签名
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设
A
为 3 阶方阵，
1
3
A
，则
1 *
(4 ) 3
A A
．
2. 已知 4 阶行列式第三行元素依次为
1, 0, 2, 4
，第四行元素对应的代数余子式依次为
5,10, , 4a
，则
a
．
3. 设
1 2 2
4 3
3 1 1
t
A
，
B
为三阶非零矩阵，且
AB O
，则
t
．
4. 设
A
为 2 阶矩阵，
1 2
α α,
为线性无关的 2 维列向量，
1 2 1 2
, 2
A
α 0 Aα α α
，则
A
的非零特征值
为 ．
5. 若二次型
2 2 2 2
1 2 3 1 3
2 2
f x tx t x x x
是正定的，则
t
的取值范围是 ．
二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设
A
为
m n
矩阵，
B
为
n m
矩阵，则（ ）．
(A) 当
m n
时，必有
0
AB
(B) 当
m n
时，必有
0
AB
(C) 当
n m
时，必有
0
AB
(D) 当
n m
时，必有
0
AB
2. 设
,A B
为
n
阶矩阵，且
2
AB E
，则下列命题正确的是（ ）．
(A)
AB E
(B)
AB E
(C)
2 2
A B E
(D)
2
BA E
3. 设
n
阶矩阵
1 2
,
n
A
α α α
， ， ，
n
B
β β β
， ， ，
1 2
,
1 2
n
AB
γ γ γ
， ， ，
，记向量组
Ⅰ：
n
α α α
， ， ，
1 2
； Ⅱ：
n
β β β
， ， ，
1 2
； Ⅲ：
1 2
n
γ γ γ， ， ，
．
如果向量组Ⅲ线性相关，则（ ）．
(A) 向量组Ⅰ线性相关 (B) 向量组Ⅱ线性相关
(C) 向量组Ⅰ与Ⅱ都线性相关 (D) 向量组Ⅰ与Ⅱ中至少有一个线性相关
4. 设
A
为
m n
矩阵，则下述命题正确的是（ ）．
(A) 若
Ax 0
只有零解，则
Ax b
有唯一解
(B)
Ax 0
有非零解的充要条件是
0
A
(C)
Ax b
有唯一解的充要条件是
( )
R n
A
(D) 若
Ax b
有两个不同的解，则
Ax 0
有非零解
5. 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）．
(A)
1 1 1
0 3 3
0 0 2
(B)
1 2 1
2 0 2
1 2 1
(C)
1 0 0
1 1 0
0 0 1
(D)
1 1 0
4 1 0
0 0 1
三、（8 分）计算行列式
1
2
4
3
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
a
a
D
a
a
，
1 2 3 4
0
a a a a
．
四、（10 分）设
1 2 1 0
0 1 0 2
P
Λ AP PΛ
， ，
，求
n
A
．
五、（12 分）设向量组：
1
1, 2,1, 0
T
，
2
4,5,0,5
T
，
3
1, 1, 3,5
T
，
4
0,3,1,1
T
，
求此向量组的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示．
六、（12 分）设
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(2 ) 2 2 1,
2 (5 ) 4 2,
2 4 (5 ) 1,
x x x
x x x
x x x
问
取何值时，此方程组：
（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？
七、（14 分）已知二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3
( , , ) 2 3 3 4 ( 0)
f x x x x x x ax x a
通过正交变换
x Py
化为标
准形
2 2 2
1 2 3
5 2
f y y y
，求（1）常数
a
的值；（2）正交变换
x Py
.
八、（4 分）设
A
是
m n
矩阵, 证明：
( ) ( )
T
R R
A A A
.
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