17-18 线性代数B 期末A卷试卷1

《线性代数B》期末A卷试卷1涵盖了线性代数中的多个核心概念，包括矩阵运算、线性相关性、向量空间、特征值与特征向量以及线性方程组的解法。以下是对试卷部分内容的详细解析： 1. 选择题的第一题考察了多项式的根与系数的关系。如果多项式 \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) 的根是 \( f(x) = 0 \) 的解，那么根据韦达定理，根的和等于系数的负倒数，即 \( -\frac{b}{a} \)，根的乘积等于 \( \frac{d}{a} \)。由于题目没有给出具体的选项，我们无法直接得出答案。 2. 第二题涉及矩阵的性质。A、B为n阶可逆方阵，正确的结论是D：\( ||A|| + ||B|| = ||AB|| + ||BA|| \)，这反映了矩阵范数的乘法性质。其他选项不正确，因为矩阵乘法不一定可交换（A选项），\( (AB)^{-1} \neq B^{-1}A^{-1} \)（B选项），\( A^*B \neq B^*A \)（C选项），其中 \( * \) 表示伴随矩阵。 3. 第三题考察向量的线性相关性和线性无关性。给定一组向量 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \)，如果它们的坐标成比例，即 \( a \alpha_1 + b \alpha_2 + c \alpha_3 = 0 \) 对任意非零实数 \( a, b, c \) 成立，那么向量组线性相关。根据题目，向量的坐标可以任意调整，所以无法确定它们是否线性相关或无关，但可以排除线性无关（A选项）和线性相关（B选项）的确定结论。同样，增加一个向量 \( \alpha_4 \) 也无法直接判断线性相关性，因此C和D也不正确。 4. 第四题考查实向量集合是否构成向量空间。选项A和C中向量可以表示为一个向量的线性组合，所以它们不是3维实向量空间的子空间。选项B中的向量满足向量加法封闭和标量乘法封闭，因此它们构成3R的子空间。选项D中的向量集合等价于3R本身，也是3R的子空间。所以，正确答案是B和D。 5. 第五题涉及到矩阵的相似性。两矩阵相似意味着它们可以经过可逆矩阵的乘法得到对方。根据特征值判断，只有当两个矩阵有相同的特征值时，它们才可能相似。因此，正确答案是D，因为这两个矩阵有相同的特征值。 填空题部分涉及矩阵的逆、行列式、特征根和特征值的计算，具体解答如下： 6. 如果可逆矩阵A的每行元素之和为a，那么其逆矩阵\( A^{-1} \)的每行元素之和为 \( \frac{1}{a} \)。因为矩阵乘法中，行乘以列的和就是该矩阵的迹（对角元素之和），而\( A \cdot A^{-1} = I \)，所以 \( A^{-1} \)的每行元素之和是 \( \frac{1}{A} \)的迹。 7. 当3阶矩阵A乘以非零3阶矩阵B得到零矩阵时，说明A的行列式为0，因为非零矩阵乘以非零矩阵不可能得零。 8. 对于二阶方阵A，已知它将线性无关的向量\( \alpha_1, \alpha_2 \)映射为线性组合，那么A的非零特征根是使得映射非零的值，即2。 9. 3阶方阵A的特征值为1, 1, -2，那么 \( 2I + A \) 的行列式是 \( 2 \times 2 \times 2 \) 乘以非零特征值的和，即 \( 2 \times (2 + 1 - 2) = 2 \)。 10. 矩阵D的元素代数余子式之和等于矩阵的迹，即所有对角元素之和，因此为1+2+3+4=10。 计算题部分涉及到向量组的秩和极大线性无关组的求解、矩阵乘法和逆矩阵的计算、线性方程组的参数解和通解、特征值与特征向量的问题，需要应用线性代数中的基本运算和理论来解答。 这份试卷全面覆盖了线性代数的基本内容，包括矩阵运算、向量空间的性质、线性相关性、特征值和特征向量以及线性方程组的解法。这些知识点在工程、科学和数据分析等领域都有着广泛的应用。