中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 8.2节
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2022-06-15
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8.2 线性变换矩阵
1 假设我们知道了关于基底 v
1
, . . . , v
n
：的 T (v
1
), . . . , T (v
n
)，我们也就知道了所有 T (v)。
2“T 对应矩阵”的 j 列源于将 T 运用到输入基向量 v
j
。
3 按输出基底 w 写作 T (v
j
) = a
1j
w
1
+ · · · + a
mj
w
m
。这些 a
ij
成为列 j。
4 若输入与输出基 = I
n×n
与 I
m×m
的列，则 T (x) = Ax 对应的矩阵是 A。
5 当基变为 v 与 w 时，相同 T 对应的矩阵由 A 变为 W
−1
AV 。
6 最佳基底：V = W = 特征向量与 V, W = 奇异向量，得出对角 Λ 与 Σ。
下一页为每个线性变换 T 指派了一个矩阵。对于普通列向量，输入 v 在 V = R
n
中且输出 T (v) 在
W = R
m
中。这个变换对应的矩阵 A 将会是 m × n 的。我们在 V 及 W 中选择的基将决定 A。
R
n
及 R
m
的标准基向量为 I 的列。这个选择导出一个标准矩阵。于是 T (v ) = Av 处于正常方式。
然而这些空间也有别的基，这样相同的变换 T 由其它矩阵表示。线性代数的一个主题是选择能得出最
佳的 T 对应矩阵（对角矩阵）的基底。
所有向量空间 V 与 W 都有基。基的每种选择导出一个 T 对应的矩阵。当输入基底与输出基底不
同时，对应 T (v) = v 的矩阵将不会是单位矩阵 I。它将是“基变换矩阵”。以下是关键思想：
假设我们知道关于输入基向量 v
1
至 v
n
的 T (v)。
矩阵的第 1 至 n 列将包含这些输出 T (v
1
) 至 T (v
n
)。
A 乘以 c = 矩阵乘以向量 = 这 n 个列的组合。
Ac 是正确的组合 c
1
T (v
1
) + · · · + c
n
T (v
n
) = T (v)。
原因 每个 v 都是基向量 v
j
的唯一组合 c
1
v
1
+ · · · + c
n
v
n
。由于 T 是一个线性变换（这里为线性时），
则 T (v) 必定为在列中的输出 T (v
j
) 的相同组合 c
1
T (v
1
) + · · · + c
n
T (v
n
)。
我们的第一个例子得出了在 R
2
和 R
3
的标准基向量上对应的矩阵 A。
例 1 假设 T 将 v
1
= (1, 0) 变换为 T (v
1
) = (2, 3, 4)。第二个基向量 v
2
= (0, 1) 变换为 T (v
2
) = (5, 5, 5)。
若 T 是从 R
2
到 R
3
的线性变换，那么它的“标准矩阵”是 3 × 2。这些输出 T (v
1
) 和 T (v
2
) 成为 A
的列：
A =
2 5
3 5
4 5
c
1
= 1 与 c
2
= 1 得出 T (v
1
+ v
2
) =
2 5
3 5
4 5
1
1
=
7
8
9
基变换
例 2 假设输入空间 V = R
2
也是输出空间 V = R
2
。假定 T (v) = v 为恒等变换。你可能认为它的矩
阵必是 I，但这仅发生在输入基与输出基相同的时候。我将选择不同的基来考虑矩阵是如何被构建出来
的。
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