中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 7.4节
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2022-05-24
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7.4 SVD 的几何
1 一个典型的方阵 A = UΣV
T
分解为 (旋转)(拉伸)(旋转)。
2 几何展示了 A 如何将圆上的向量变换为椭圆上的向量 Ax。
3 A 的范数是 ∥A∥ = σ
1
。这个奇异值是它的最大增长因子 ∥Ax∥/ ∥x∥。
4 极分解将 A 分解成 QS：旋转 Q = UV
T
乘上拉伸 S = V ΣV
T
。
5 伪逆 A
+
= V Σ
+
U
T
使列空间中的 Ax 还原到行空间中的 x。
SVD 将一个矩阵分成三步：(正交矩阵) × (对角矩阵) × (正交矩阵)。普通的言语就能表达其背后的几
何：(旋转) × (拉伸) × (旋转)。UΣV
T
x 从旋转到 V
T
x 开始。其次 Σ 将向量拉伸到 ΣV
T
x，然后 U
将其旋转至 Ax = UΣV
T
x。以下是其图像。
图 7.5：U 和 V 是旋转矩阵也可能是反射矩阵。Σ 将圆拉伸成椭圆。
诚然，这个图只适用于 2 ×2 矩阵。还不是每个 2 ×2 矩阵，因为 U 和 V 没有虑及反射矩阵——
全部三个矩阵的行列式都 > 0。此 A 必定可逆，因为这三步表明了是可逆的：
"
a b
c d
#
=
"
cos θ −sin θ
sin θ cos θ
#"
σ
1
σ
2
#"
cos ϕ sin ϕ
−sin ϕ cos ϕ
#
= UΣV
T
. (1)
矩阵 A 中的四个数 a, b, c, d 产生了 SVD 中的四个数 θ, σ
1
, σ
2
, ϕ。
这个图将引导我们至矩阵代数的三个简洁思想：
1 矩阵的范数 ∥A∥——它是最大增长因子。
2 极分解 A = QS——正交 Q 乘以正定 S。
3 伪逆 A
+
——矩阵 A 不可逆时的最佳逆。
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