中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 10.1节

多年以来我常常见到一个模型，我发现它是如此的基本和实用，于是我总是将它放在第一位。该模型由 边连在一起的点组成。这叫做图。 通常类型的图表现为函数 f(x)。这种边连节点类型的图可引出矩阵来。本章是关于图的关联矩阵 ——它表明 n 个节点是如何由 m 条边连起来的。通常 m > n，边比节点多。 对于任何 m × n 矩阵，都有 Rn 中的两个基本子空间和 Rm 中的两个基本子空间。它们是 A 与 AT 的行空间及零空间。它们的维数r,n−r及r,m−r源于线性代数最重要的定理。该定理的第二部 分是行空间与零空间的正交性。我们的目标是展示些图的实例是如何阐明这个线性代数基本定理的。 当我创建一个图及其关联矩阵时，将很容易找出其子空间维数。但我们想要子空间本身——就由 正交性来协助。将子空间与它们所在的图联系起来是必要的。通过使关联矩阵专门化，线性代数定律就 变成了基尔霍夫定律。请不要对词汇“电流”和“电压”反感。这些矩形矩阵是最合适的。 线性代数是数学的一个重要分支，特别是在处理和分析复杂系统时，如图和网络的结构。本节主要讨论的是图的线性代数表示及其与矩阵的关系，特别是与图的关联矩阵。关联矩阵是一种特殊的矩阵，其中的元素表示图中节点间的连接情况，通常用于表示有向图或无向图的边。 图是由点（节点）和边组成的模型，这些点通过边相互连接。在数学中，这种类型图常常被用来描述函数或其他数学对象之间的关系。当我们将图转化为矩阵形式时，我们得到一个m×n的矩阵，其中m表示边的数量，n表示节点的数量。通常，m大于n，意味着边比节点多。 矩阵A和它的转置AT在这里起到了关键作用。A的行空间表示所有可能的节点连接组合，而零空间则包含了所有使Ax=0的向量，即那些没有通过任何边相连的节点组合。矩阵A的秩r表示行空间的维数，而n-r和r-m-r分别是零空间在Rn和Rm中的维数。这些维数是由线性代数的基本定理决定的，这个定理也指出行空间与零空间是正交的。 我们的目标是通过具体图的实例来揭示这个线性代数定理的含义。通过创建图并分析其关联矩阵，我们可以轻易地找到子空间的维数。然而，更重要的是理解和构造子空间本身，这就需要利用正交性。正交性可以帮助我们清晰地区分和理解这些子空间，并将它们与图形结构对应起来。 关联矩阵的特殊性质在于，它们的元素只包含0、1或-1，这在进行高斯消元或LU分解时保持不变。矩阵A可以分解为L和U，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，两者都只包含±1和0。同样的规则也适用于零空间的矩阵。 例如，图10.1显示了一个具有6条边和4个节点的完全图，其关联矩阵A描述了节点间的连接。而图10.1*是一个具有3条边和4个节点的无环树，其关联矩阵B的行是无关的。通过消元过程，我们可以将这些图简化为树的形式，环会导致矩阵的行相关，从而在阶梯形矩阵U中产生零行。 当我们引入电流或电压的概念时，图的线性代数模型变得更直观。在图中，每个节点的电压可以用向量x表示，而Ax则给出了各节点间的电压差，也就是沿边的电流流动。如果所有节点的电压相同，那么Ax将是零向量，这定义了A的零空间。对于树状图，无论怎样调整所有节点的电压，只要保持各节点间的电压差不变，就会得到相同的差分结果，因此其零空间的维数是1。 总结来说，本节内容深入探讨了图的线性代数表示，包括关联矩阵、行空间、零空间以及正交性，这些都是线性代数在解决实际问题，如网络分析和电路理论中的基础工具。通过具体的图例，我们更好地理解了线性代数定理如何在这些模型中发挥作用，并如何通过矩阵运算解析复杂的结构。