中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 6.1节

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线性代数
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中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 6.1节
第 6 章
特征值与特征向量
6.1 特征值导论
1 特征向量 x 与 Ax 位于同一直线上： Ax = λx 。其特征值为 λ。
2 若 Ax = λx，则有 A
2
x = λ
2
x、A
−1
x = λ
−1
x 及 (A + cI)x = (λ + c)x：相同的 x。
3 若 Ax = λx，则 (A − λI)x = 0、A − λI 是奇异的且 det(A − λI) = 0 。n 个特征值。
4 由 det A = (λ
1
)(λ
1
) ···(λ
n
) 与对角元素和 a
11
+ a
22
+ ··· + a
nn
= λ的和 来检验 λ。
5 投影矩阵具有 λ = 1 与 0。反射矩阵则有 1 与 −1。旋转矩阵则有 e
iθ
与 e
−iθ
：复数！
本章进入线性代数的新部分。第一部分是关于 Ax = b：平衡、能够保持均衡及状态稳定。现在的
第二部分是关于改变。时间的介入——微分方程 du/dt = Au 中的连续时间或差分方程 u
k+1
= Au
k
中的时间步。那些方程不能用消元法求解。
关键思想是要避免由矩阵 A 呈现出的所有复杂性。假设解向量 u(t) 保持在一个固定向量 x 的方
向上。那么我们仅需要找出那个倍数（随时间变化）。一个数比一个向量要容易。我们希望当你乘上 A
时，“特征向量”x 不会改变方向。
一个好范例，它来自于矩阵的幂 A, A
2
, A
3
, . . . 。假设你需要第 100 次幂 A
100
。它的列非常接近其
特征向量 (0.6, 0.4)：
A, A
2
, A
3
=
[
0.8 0.3
0.2 0.7
][
0.70 0.45
0.30 0.55
][
0.650 0.525
0.350 0.475
]
A
100
≈
[
0.6000 0.6000
0.4000 0.4000
]
利用 A 的特征值 A
100
得以找出，而非通过乘以 100 个矩阵。那些特征值（这里它们是 λ = 1 和 1/2）
是一个看透矩阵的心的新方式。
为了介绍特征值，我们首先说明特征向量。在与 A 相乘时，几乎所有向量都会改变方向。某些特
别的向量会与 Ax 方向相同。那些是其“特征向量”。A 乘以一个特征向量，向量 Ax 就为一个数 λ 乘
以原先的 x。
基本方程是 Ax = λx。数 λ 是 A 的一个特征值。
特征值 λ 表明特殊向量 x 是被拉伸了还是缩短了还是保持不变——当它与 A 相乘时。我们可能会发
现 λ = 2 或
1
2
或 −1 或 1。特征值 λ 可以是 0！那么 Ax = 0x 意味着此特征向量 x 在其 0 空间内。
若 A 是单位矩阵，则每个向量都有 Ax = x。所有向量都是 I 的特征向量。所有特征值“兰布达”
都为 λ = 1。至少可以说，这是不寻常的。大多数 2 ×2 矩阵有 2 个特征向量方向和 2 个特征值。我们
将证明 det(A − λI) = 0
本节将说明怎么去计算 x 与 λ。它可以在课程的早期出现，是由于我们仅需要一个 2 ×2 矩阵的行
列式。让我用 det(A − λI) 来找出第一个例子的特征值，然后在方程（3）中正确地推导它。
例 1 矩阵 A 有 2 个特征值 λ = 1 和 λ = 1/2。考虑 det(A − λI)：
A =
[
0.8 0.3
0.2 0.7
]
det
[
0.8 − λ 0.3
0.2 0.7 − λ
]
= λ
2
−
3
2
λ +
1
2
= (λ − 1)(λ −
1
2
).
我将二次方程分解为 λ −1 乘以 λ −
1
2
，以看到 2 个特征值 λ = 1 和 λ =
1
2
。由于这些数，矩阵 A −λI
变成奇异的（行列式为 0）。其特征向量 x
1
与 x
2
分别在 A − I 与 A −
1
2
I 的 0 空间内。
(A − I)x
1
= 0 是 Ax
1
= x
1
且第一个特征向量为 (0.6, 0.4)。
(A −
1
2
I)x
2
= 0 是 Ax
2
=
1
2
x
2
且第二个特征项是 (1, −1)：
x
1
=
[
0
.
6
0.4
]
并且 Ax
1
=
[
0
.
8 0
.
3
0.2 0.7
][
0
.
6
0.4
]
= x
1
（Ax = x 意味着 λ
1
= 1）
x
2
=
[
1
−1
]
并且 Ax
2
=
[
0.8 0.3
0.2 0.7
][
1
−1
]
=
[
0.5
−0.5
]
（这是
1
2
x
2
因此 λ
2
=
1
2
）。
如果 A 再次乘以 x
1
，我们依然会得到 x
1
。A 的每一次幂都会给出 A
n
x
1
= x
1
。A 乘以 x
2
得
1
2
x
2
，
并且再次相乘我们会得到 (
1
2
)
2
乘以 x
2
。
当 A 平方时，特征向量保持不变。特征值平方。
因为特征向量保持在它们自己的方向上（图 6.1）且永远不会混合，所以这种模式会一直持续下去。A
100
的特征向量同样是 x
1
与 x
2
。A
100
的特征值为 1
100
= 1 与 (
1
2
100
) = 非常小的数。
其它向量会改变方向。但所有其它向量都是两个特征向量的组合。A 的第一列是组合 x
1
+ (0.2)x
2
：
分解为特征向量
然后乘以 A
[
0.8
0.2
]
= x
1
+ (0.2)x
2
=
[
0.6
0.4
]
+
[
0.2
−0.2
]
. (1)
当我们分别乘以 x
1
与 (0.2)x
2
时，A 用它的特征值
1
2
乘以 x
2
：
Ax
2
= λ
2
x
2
=
[
0.5
−0.5
]
λ = 0.5
x
2
=
[
1
−1
]
λ = 1
Ax
1
= x
1
=
[
0.6
0.4
]
λ
2
= 1
A
2
x
2
= (0 .5)
2
x
2
=
[
0.25
−0.25
]
λ
2
= 0 .25
A
2
x
2
= (0 .5)
2
=
[
0.25
−0.25
]
Ax = λx
A
2
x = λ
2
x
图 6.1：特征向量保持它们的方向。具有 λ
2
= 1
2
及 (0.5)
2
的 A
2
x = λ
2
x。
每个 x
i
与 λ
i
相乘 A
[
0.8
0.2
]
是 x
1
+
1
2
(0.2)x
2
=
[
0.6
0.4
]
+
[
0.1
−0.1
]
=
[
0.7
0.3
]
.

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