第 6 章
特征值与特征向量
6.1 特征值导论
1 特征向量 x 与 Ax 位于同一直线上： Ax = λx 。其特征值为 λ。
2 若 Ax = λx，则有 A
2
x = λ
2
x、A
−1
x = λ
−1
x 及 (A + cI)x = (λ + c)x：相同的 x。
3 若 Ax = λx，则 (A − λI)x = 0、A − λI 是奇异的且 det(A − λI) = 0 。n 个特征值。
4 由 det A = (λ
1
)(λ
1
) ···(λ
n
) 与对角元素和 a
11
+ a
22
+ ··· + a
nn
= λ的和 来检验 λ。
5 投影矩阵具有 λ = 1 与 0。反射矩阵则有 1 与 −1。旋转矩阵则有 e
iθ
与 e
−iθ
：复数！
本章进入线性代数的新部分。第一部分是关于 Ax = b：平衡、能够保持均衡及状态稳定。现在的
第二部分是关于改变。时间的介入——微分方程 du/dt = Au 中的连续时间或差分方程 u
k+1
= Au
k
中的时间步。那些方程不能用消元法求解。
关键思想是要避免由矩阵 A 呈现出的所有复杂性。假设解向量 u(t) 保持在一个固定向量 x 的方
向上。那么我们仅需要找出那个倍数（随时间变化）。一个数比一个向量要容易。我们希望当你乘上 A
时，“特征向量”x 不会改变方向。
一个好范例，它来自于矩阵的幂 A, A
2
, A
3
, . . . 。假设你需要第 100 次幂 A
100
。它的列非常接近其
特征向量 (0.6, 0.4)：
A, A
2
, A
3
=
[
0.8 0.3
0.2 0.7
][
0.70 0.45
0.30 0.55
][
0.650 0.525
0.350 0.475
]
A
100
≈
[
0.6000 0.6000
0.4000 0.4000
]
利用 A 的特征值 A
100
得以找出，而非通过乘以 100 个矩阵。那些特征值（这里它们是 λ = 1 和 1/2）
是一个看透矩阵的心的新方式。
为了介绍特征值，我们首先说明特征向量。在与 A 相乘时，几乎所有向量都会改变方向。某些特
别的向量会与 Ax 方向相同。那些是其“特征向量”。A 乘以一个特征向量，向量 Ax 就为一个数 λ 乘
以原先的 x。
基本方程是 Ax = λx。数 λ 是 A 的一个特征值。
特征值 λ 表明特殊向量 x 是被拉伸了还是缩短了还是保持不变——当它与 A 相乘时。我们可能会发
现 λ = 2 或
1
2
或 −1 或 1。特征值 λ 可以是 0！那么 Ax = 0x 意味着此特征向量 x 在其 0 空间内。
若 A 是单位矩阵，则每个向量都有 Ax = x。所有向量都是 I 的特征向量。所有特征值“兰布达”
都为 λ = 1。至少可以说，这是不寻常的。大多数 2 ×2 矩阵有 2 个特征向量方向和 2 个特征值。我们
将证明 det(A − λI) = 0
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