中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.1节

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.1节 线性组合在这个学科中非常重要！有时我们想要一个特定的组合，具体选择 c = 2 和 d = 1 来产 生 cv + dw = (4, 5)。其它时候我们想要 v 与 u 的所有组合（来自所有的 c 与 d）。 向量 cv 沿一条直线放置。当 w 不在那条直线上时，组合 cv + dw 充满整个二维平面。从四维空 间中的 4 个向量 u, v, w, z 开始，它们的组合 cu + dv + ew + fz 可能充满整个空间——但并不总是 这样。向量和它们的组合可能位于一个平面上或一条直线上。 第 1 章解释了这些中心思想，一切都建立在这些思想上。我们从能够合理绘制的二维向量与三维 向量开始。然后我们移入更高的维度。线性代数真正令人印象深刻的特点是如何流畅地将这一步引入 n 维空间。即使不可能画出十维的向量，你脑海中的画面也会保持是正确的。 这是本书将要通往的地方（进入 n 维空间）。第一步是 1.1 节和 1.2 节的运算。然后是在 1.3 节概 述了 3 个基本思想。 线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵和线性方程组等概念。在《Introduction to Linear Algebra》第五版的1.1节中，作者着重介绍了线性组合这一核心概念，它是线性代数的基础，并且贯穿整个学科。 线性组合是指通过将向量与标量（即常数）相乘，然后再将结果相加得到的新向量。例如，给定两个向量v和w，选择标量c和d，那么线性组合可以表示为cv + dw。在这里，cv是向量v沿其方向放大c倍，dw则是w沿其方向放大d倍。如果v和w位于不同的直线上，那么所有可能的线性组合cv + dw会填充整个二维平面。在四维空间中，四个向量u, v, w, z的线性组合cu + dv + ew + fz可以填充整个空间，但并非总是如此，它们可能共面或共线。 第一章主要阐述了线性代数的基本思想，首先从二维和三维向量的直观理解开始，然后逐步扩展到更高维度。即使无法直观地描绘高维向量，我们仍然可以通过抽象思维理解和操作它们。书中的1.1节和1.2节主要涉及向量的加法和标量乘法，1.3节则概括了线性代数的三个关键概念： 1. **向量加法**（v + w）：两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。 2. **点乘**（v · w）：计算两个向量之间的内积，得到一个标量，反映向量之间的角度关系和长度乘积。 3. **矩阵**（A）及其作用：矩阵可以表示线性变换，线性方程组Ax = b的解可以通过求逆矩阵A找到，即x = A^(-1)b。 例如，对于向量v = [1, 1]和w = [2, 3]，线性组合3v + 5w会生成新向量[3 + 10, 3 + 15] = [13, 18]。在二维坐标系中，向量v沿着x轴正方向移动1个单位，沿着y轴正方向移动1个单位，而向量w则是2x方向和3y方向的组合。因此，通过改变c和d的值，我们可以得到所有可能的点，覆盖整个xy平面。 此外，向量的线性组合也可以用于构建平面或直线。在三维空间中，多个向量的线性组合可能会形成一个平面，如c[1, 1, 1] + d[2, 3, 4]会产生一个平面，但若方程组c + 2d = 1, c + 3d = 0, c + 4d = 0无解，表示右侧向量不在该平面上，因为"苹果与橘子不可相加"，即不同维度的向量无法直接组合。 总结来说，线性代数是通过向量加法、标量乘法以及由此产生的线性组合来探讨几何形状、变换和方程组的理论。在实际应用中，它广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等多个领域。通过深入理解和掌握这些基本概念，我们可以解决复杂问题并进行高维度的抽象思考。