中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 8.3节
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2022-07-10
15:32:12
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8.3 探寻良好的基底
1 使用新输入基 B
in
与新输出基 B
out
，每个矩阵 A 变成 B
−1
out
AB
in
。
2 B
in
= B
out
=“A 的广义特征向量”得出若尔当型 J = B
−1
AB。
3 傅里叶矩阵 F = B
in
= B
out
将每个循环矩阵对角化（利用 FFT）。
4 正弦与余弦，勒让德与切比雪夫多项式：这些都是函数空间很好的基。
这是本书重要的一节。我担心大多数读者会跳过他——或读不到这里。前几章通过解释基底的概念做
了铺垫。第 6 章介绍了特征向量 x 以及第 7 章找出了奇异向量 v 与 u。这两个是赢家，但其它许多选
择是很有价值的。
首先是 8.2 节的纯代数，然后是优良基。输入基向量将是 B
in
的列。输出基向量将是 B
out
的列。
B
in
和 B
out
总是可逆的——基向量均无关！
纯代数 若 A 是变换 T 在标准基下的矩阵，则
B
−1
out
AB
in
是在新基下的矩阵。 (1)
标准基向量为单位矩阵的列：B
in
= I
n×n
与 B
out
= I
m×m
。现在我们选择特别的基来使矩阵比 A 更清
晰，更简单。当 B
in
= B
out
= B 时，方阵 B
−1
AB 与 A 相似。
应用代数 应用都是关于选择良好的基底。这里有 4 种对向量的选择，3 种对函数的选择。在 8.2
节，特征向量与奇异向量导出 Λ 与 Σ。若尔当型是新的。
1 B
in
= B
out
= 特征向量矩阵 X。那么 X
−1
AX = 含特征向量的 Λ。这个选择需要 A 是一个具有
n 个无关特征向量的方阵。“A 必须可对角化。”当 B
in
= B
out
为特征向量矩阵 X 时，我们得到 Λ。
2 B
in
= V 与 B
out
= U ：A 的奇异向量。那么 U
−1
AV = 对角 Σ。当 B
in
与 B
out
是奇异向量矩
阵 V 与 U 时，Σ 为奇异值矩阵（σ
1
, . . . , σ
r
在它对角线上）。回想 B
in
与 B
out
的这些列都是 A
T
A
与 AA
T
的标准正交特征向量。于是 A = UΣV
T
得出 Σ = U
−1
AV 。
3 B
in
= B
out
= A 的广义特征向量。那么 B
−1
AB = 若尔当型 J。A 是方阵，但它可能只有 s 个
无关的特征向量。（若 s = n，则 B 为 X 且 J 为 Λ。）所有情况下，若尔当型由 n − s 个额外的“广
义”特征向量构建，意图使若尔当型 J 尽可能对角：
i) 沿 J 对角线有 s 个方块。
ii) 每一块具有一个特征值 λ，一个特征向量及对角线上头的 1。
好的情况具有 1 × 1 块，每个含有一个特征值。那么 J 为 Λ（对角）。
例 1 此若尔当矩阵 J 具有特征值 λ = 2, 2, 3, 3（两对特征值）。这些特征值位于对角线上是因为 J 是
三角矩阵。对于 λ = 2 有两个无关特征向量，但是对于 λ = 3 只有一条特征向量。这对每个与 J 相似
的 C = BJB
−1
都是成立的。
请勿商业交易！仅交流学习！ 邮箱：youth_eric@163.com 微信号：tengxunweixin_id
Eric_Saltfish
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