中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 8.1节
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2022-06-03
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第 8 章
线性变换
8.1 线性变换思想
1 线性变换 T 将向量 v 变成向量 T (v)。线性要求 T (cv + dw) = cT (v) + dT (w) 注意 T (0) = 0，
所以 T (v) = v + u
0
非线性。
2 输入向量 v 与输出 T (v) 可以在 R
n
或矩阵空间或函数空间中。
3 若 A 是 m × n 的，则 T (x) = Ax 是从输入空间 R
n
到输出空间 R
m
的线性变换。
4 导数 T (f) =
df
dx
是线性的。积分 T
+
(f) =
∫
x
0
f(t)dt 是它的伪逆。
5 两个线性变换的乘积 ST 仍然是线性的： (ST )(v) = S(T (v))。
当一个矩阵 A 乘以一个向量 v 时，它将向量 v 变换为另一个向量 Av。输入 v，输出 T (v) = Av。
变换 T 遵循着与函数相同的思想。输入一个数 x，输出 f (x)。对某一个向量 v 或某一个数 x，我们乘
上矩阵或求函数值。更深层次的目标是一次考虑所有向量 v。当我们将 A 与每个 v 相乘时，我们就变
换了整个空间 V 。
我们仍从矩阵 A 开始。它将 v 变换为 Av。它将 w 变换为 Aw。于是我们知道了在 u = v + w 上
发生的事。毫无疑问，Au 必等于 Av + Aw。矩阵乘法 T (v) = Av 给出线性变换：
变换 T 为 V 中的每个输入向量 v 分配一个输出 T (v)。
如果对所有 v 和 w 满足这些要求，则变换是线性的：
(a) T (v + w) = T (v) + T (w) (b) 对所有c T (cv) = cT (v)
若输入为 v = 0，则输出必须为 T (v) = 0。我们将法则 (a) 和 (b) 合二为一：
线性变换 T (cv + dw) 必须等于 cT (v) + dT (w)
我可以再次检验矩阵乘法为线性运算：A(cv + dw) = cAv + dAw 成立。
线性变换被高度限制着。假设 T 将 u
0
加到每个向量上。那么 T (v) = v + u
0
和 T (w) = w + u
0
。
这不好，或者至少它不是线性的。v + w 应用 T 得 v+w+u
0
。这跟 T (v) + T (w) 不一样：
平移不是线性 v+w+u
0
不是 T (v) + T (w) = (v + u
0
) + (w + u
0
)。
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