中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.1节
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2022-08-10
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第 2 章
求解线性方程
2.1 向量与线性方程
1 Ax = b 的列图：A 的 n 列组合产生向量 b。
2 Ax = x
1
a
1
+ · · · + x
n
a
n
= b：A 的列为 a
1
, a
2
, · · · , a
n
。
3 当 b = 0 时，列组合 Ax 为零：唯一可能是 x = (0, . . . , 0)。
4 Ax = b 的行图：来自 m 行的 m 个方程给出了相交于 x 的 m 个平面。
5 点积提供了每个平面的方程：(row) 1 · x = b
1
, . . . , (row m) · x = b
m
。
6 当 b = 0 时，所有平面 (row i) · x = 0 都经过中心点 x = (0, 0, . . . , 0)。
线性代数的核心问题是求解方程组。这些方程都是线性的，即未知数仅与数相乘——我们绝不会
遇见 x 乘以 y。我们的第一个线性方程组较小。接下来你来看看它引申出多远：
两个方程
两个未知数
x − 2y = 1
3x + 2y = 11
(1)
我们一次从一个行开始。第一个方程 x − 2y = 1 得出了 xy 平面的一条直线。由于点 x = 1, y = 0 解
出该方程，因此它在这条直线上。因为 3 − 2 = 1，所以点 x = 3, y = 1 也在这条直线上。若我们选择
x = 101，那我们求出 y = 50。
这条特定直线的斜率是
1
2
，是因为当 x 变化 2 时 y 增加 1。斜率在微积分中很重要，然而这是线
性代数！
图 2.1 将展示第一条直线 x − 2y = 1。此“行图”中的第二条直线来自第二个方程 3x + 2y = 11。你
不能错过两条线的交点 x = 3, y = 1。点 (3, 1) 位于两条线上并且解出两个方程。
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