中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.1节

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.1节 线性代数的核心问题是求解方程组。这些方程都是线性的，即未知数仅与数相乘——我们绝不会 遇见 x 乘以 y。我们的第一个线性方程组较小。接下来你来看看它引申出多远： 两个方程 两个未知数 x − 2y = 1 3x + 2y = 11 (1) 我们一次从一个行开始。第一个方程 x − 2y = 1 得出了 xy 平面的一条直线。由于点 x = 1, y = 0 解 出该方程，因此它在这条直线上。因为 3 − 2 = 1，所以点 x = 3, y = 1 也在这条直线上。若我们选择 x = 101，那我们求出 y = 50。 这条特定直线的斜率是 12，是因为当 x 变化 2 时 y 增加 1。斜率在微积分中很重要，然而这是线 性代数！ 图 2.1 将展示第一条直线 x − 2y = 1。此“行图”中的第二条直线来自第二个方程 3x + 2y = 11。你 不能错过两条线的交点 x = 3, y = 1。点 (3, 1) 位于两条线上并且解出两个方程。 线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、线性变换等概念。在《Introduction to Linear Algebra》第五版的第2.1节中，作者探讨了线性方程组的基本理论和解决方法，特别强调了线性方程与向量之间的关系。 线性方程的核心在于它们的线性特性，即未知数只与常数相乘，不涉及乘法或指数运算。一个简单的线性方程组如：\( x - 2y = 1 \) 和 \( 3x + 2y = 11 \)，可以用来找出变量 \( x \) 和 \( y \) 的值。在二维坐标系中，每个方程代表一条直线。例如，方程 \( x - 2y = 1 \) 描述了一条斜率为 \( \frac{1}{2} \) 的直线，因为它表示当 \( x \) 增加 2 时，\( y \) 增加 1。线性方程组的解是这两条直线的交点，这里是 \( (3, 1) \)。 行图和列图是理解线性方程组的重要工具。行图关注的是方程组的行，每个方程对应一个平面，而这些平面的交点就是方程组的解。对于上述方程组，行图展示了两个平面相交于点 \( (3, 1) \)。另一方面，列图则关注方程的列向量，通过向量的线性组合来表示方程组的解。在列图中，我们把方程组看作向量方程 \( [1, 3]x + [-2, 2]y = [1, 11] \)，寻找能够使得向量组合等于右边向量的 \( x \) 和 \( y \) 的值。 线性代数中的基本操作包括标量乘法和向量加法。在列图中，我们可以将每个列向量乘以相应的系数，然后相加以得到目标向量。在这个例子中，\( 3 \times [1, 3] + 1 \times [-2, 2] = [1, 11] \)，这与行图的结果一致，都指示解为 \( x = 3 \) 和 \( y = 1 \)。 系数矩阵是描述线性方程组中各个方程之间关系的矩阵，如上述方程组对应的系数矩阵为 \( [1, -2; 3, 2] \)。矩阵乘法的形式 \( Ax = b \) 把方程组统一为一个矩阵表达式，其中 \( A \) 是系数矩阵，\( x \) 是变量向量，\( b \) 是常数向量。通过行变换或列变换，可以找到矩阵 \( A \) 的逆或简化阶梯形矩阵，从而求解方程组。 本章的讨论不仅限于二维情况，也适用于更高维度的线性方程组。对于更多的未知数和方程，线性代数提供了系统化的求解方法，如高斯消元法、克拉默法则以及矩阵特征值和特征向量的概念。这些方法在工程、物理、计算机科学等多个领域有着广泛的应用。