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中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 9.3节
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线性代数的许多应用都需要时间来发展。在一个小时内解释它们并不容易。教师和作者必须在使理论 完整与加入现代应用之间做选择。通常是理论获胜,然而本节是个例外。本节解释了上世纪最有价值的 数值算法。 我们想快速地乘上傅里叶矩阵 F 与它的逆 F−1。这通过快速傅里叶变换完成。一个普通乘积 Fc 用到 n2 次乘法(F 具有 n2 项)。FFT 仅需要 n 乘以 12 log2 n 次乘法。我们将看到这是如何实现的。 FFT 彻底改变了信号处理。整个行业都因该思想而迅速发展。电气工程师是第一个知道其中区别 的人——当他们遇见你时会取你的傅里叶变换(假设你是个函数)。傅里叶的思想是将 f 表示为谐波 ckeikx 的和。在频率空间中通过系数 ck 观察该函数,而非在实际空间中通过其值 f(x) 来观察它。c 与 f 间的前向、后向通道是由傅里叶变换实现。快速通道由 FFT 实现。中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 9.3节 单位根与傅里叶矩阵 二次方程有两个根(或者一个重根)。n 次方程具有 n 个根(算上重复次数)。这是代数基本定
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9.3 快速傅里叶变换
线性代数的许多应用都需要时间来发展。在一个小时内解释它们并不容易。教师和作者必须在使理论
完整与加入现代应用之间做选择。通常是理论获胜,然而本节是个例外。本节解释了上世纪最有价值的
数值算法。
我们想快速地乘上傅里叶矩阵 F 与它的逆 F
−1
。这通过快速傅里叶变换完成。一个普通乘积 F c
用到 n
2
次乘法(F 具有 n
2
项)。FFT 仅需要 n 乘以
1
2
log
2
n 次乘法。我们将看到这是如何实现的。
FFT 彻底改变了信号处理。整个行业都因该思想而迅速发展。电气工程师是第一个知道其中区别
的人——当他们遇见你时会取你的傅里叶变换(假设你是个函数)。傅里叶的思想是将 f 表示为谐波
c
k
e
ikx
的和。在频率空间中通过系数 c
k
观察该函数,而非在实际空间中通过其值 f(x) 来观察它。c 与
f 间的前向、后向通道是由傅里叶变换实现。快速通道由 FFT 实现。
单位根与傅里叶矩阵
二次方程有两个根(或者一个重根)。n 次方程具有 n 个根(算上重复次数)。这是代数基本定理,要
使它成立我们必须容许复根。本节是关于非常特殊的方程 z
n
= 1 的。解 z 都是“n 次方单位根”。它们
是复平面中绕单位圆的 n 个等距点。
图 9.4 展示了 z
8
= 1 的 8 个解。它们的间距是
1
8
(360
◦
) = 45
◦
。其中第一个根在 45
◦
或者说 θ = 2π/8
弧度处。它是复数 w = e
iθ
= e
i2π/8
。我们称这个数为 w
8
是为强调它是一个 8 次方根。你可以按 cos
2π
8
及 sin
2π
8
来写出它,但是不要这么做。另外 7 个 8 次根为 w
2
, w
3
, . . . , w
8
,绕一圈。w 的幂最好用极坐
标形式,因为这样我们只需处理角度
2π
8
,
4π
8
, . . . ,
16π
8
= 2π。这 8 个角的度数为 45
◦
, 90
◦
, 135
◦
, . . . , 360
◦
。
图 9.4:z
8
= 1 的 8 个解为 1, w, w
2
, . . . , w
7
,其中 w = (1 + i)/
√
2。
1 的 4 次方根也在图中。它们是 i, −1, −i, 1。现在的角度是 2π/4 或者说 90
◦
。第一个根 w
4
= e
2πi /4
只不过是 i。甚至还能看到 1 的平方根,即 w
2
= e
i2π /2
= −1。不要轻视平方根 1 和 −1。FFT 背后的
思想是从一个 8 × 8 傅里叶矩阵(包含 w
8
的幂)联系到下面的 4 × 4 矩阵(带有 w
4
= i 的幂)。同
样的思想再继续从 4 联系到 2。通过利用 F
8
降至 F
4
和升至 F
16
(及更高)的这两种联系,FFT 就使
乘上 F
1024
变得非常快速。
请勿商业交易!仅交流学习! 邮箱:youth_eric@163.com 微信号:tengxunweixin_id
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Eric_Saltfish
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