中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 6.5节
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2022-04-13
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6.5 正定矩阵
1 实对称 S：所有特征值 > 0 ⇔ 所有主元 > 0 ⇔ 所有左上角行列式 > 0。
2 然后矩阵 S 是正定的。其能量检验为对所有 x = 0 的向量，x
T
Sx > 0。
3 又一个对正定性的检验：S = A
T
A 同时 A 的列无关。
4 半正定的 S 允许 λ = 0，主元 = 0，行列式 = 0，能量 x
T
Sx = 0。
5 当 S 是实对称正定时，方程 x
T
Sx = 1 给出 R
n
中的一个椭圆。
本节集中在正特征为正的实对称矩阵。如果对称性使矩阵变得重要，那么这个特别地属性（所有
λ > 0）使它真正特别。当我们说特别时，并不意味着稀有。具有正特征值的实对称矩阵是各种应用的
中心。它们被称为
正定
。
地一个问题是识别正定矩阵。你可能会说，只要求出所有特征值并检验 λ > 0 就行。这正是我们
想要避免的。计算特征值是有效的。当需要 λ 时，我们可以计算它们。但如果我们只想知道所有的 λ
都是正的，那么有更快的方法。这里是本节的两个目标：
• 在实对称矩阵上找到保证为正特征值的快速测试。
• 解释正定性的重要应用。
因为矩阵是实对称的，所以特征值是实数。
从 2 × 2 开始。何时 S =
a b
b c
有 λ
1
> 0 与 λ
2
> 0?
检验：当且仅当 a > 0 且 ac − b
2
> 0 时，S 的特征值都是正的。
S
1
=
1 2
2 1
非正定，因为 ac − b
2
= 1 − 4 < 0
S
2
=
1 −2
−2 6
正定，因为 a = 1 且 ac − b
2
= 6 − 4 > 0
S
3
=
−1 2
2 −6
非正定（即使 det A = +2），因为 a = −1
S
1
的特征值 3 与 −1 证实了 S
1
非正定。迹 3 − 1 = 2 是正的，而行列式 (3)(−1) = −3 是负的。并且
S
3
= −S
2
为负定。S
2
两个特征值为正，S
2
两个特征值为负。
证明当 λ
1
> 0 且 λ
2
> 0 时，可通过 2×2 的那个检验。它们的乘积 λ
1
λ
2
是行列式，于是 ac−b
2
> 0。
它们的和 λ
1
+ λ
2
是迹，于是 a + c > 0。还有 a 和 c 都是正的（若 a 或 c 不是正的，则 ac −b
2
> 0 会
不成立）。习题１反转了推论，证明了检验 a > 0 且 ac > b
2
会保证 λ
1
> 0 且 λ
2
> 0。
这个检验利用了 1 ×1 的行列式 a 及 2 ×2 的行列式 ac − b
2
。当 S 为 3 ×3 时，det S > 0 是这个
检验的第三步。下一种检验要求正主元。
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