千锤百炼第83炼特殊值法解决二项式展开系数问题.doc资源-CSDN文库

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第 83 炼特殊值法解决二项式展开系数问题

一、基础知识：

1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变

量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质

2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项

式系数）的等式

3、常用赋值举例：

（1）设

( )

0 1 1 2 2 2

n

n n n r n r r n n

n n n n n

a b C a C a b C a b C a b C b

- - -

+ = + + + + + +L L

，

①令

1a b= =

，可得：

0 1

2

n n

n n n

C C C= + + +L

②令

1, 1a b= = -

，可得：

( )

0 1 2 3

0 1

n

n

n n n n n

C C C C C= - + - + -L

，即：

0 2 1 3 1n n

n n n n n n

C C C C C C

-

+ + + = + + +L L

（假设

n

为偶数），再结合①可得：

0 2 1 3 1 1

2

n n n

n n n n n n

C C C C C C

- -

+ + + = + + + =L L

（2）设

( ) ( )

2

0 1 2

2 1

n

n

n

f x x a a x a x a x= + = + + + +L

① 令

1x =

，则有：

( ) ( )

0 1 2

2 1 1 1

n

n

a a a a f+ + + + = ´ + =L

，即展开式系数和

② 令

0x =

，则有：

( ) ( )

0

2 0 1 0

n

a f= ´ + =

，即常数项

③ 令

1x = -

，设

n

为偶数，则有：

( ) ( )

0 1 2 3

1 2 1 1

n

n

a a a a a f- + - + + = - ´ + = -L

( ) ( ) ( )

0 2 1 3 1

1

n n

a a a a a a f

-

Þ + + + - + + + = -L L

，

即偶次项系数和与奇次项系数和的差

由①③即可求出

( )

0 2 n

a a a+ + +L

和

( )

1 3 1n

a a a

-

+ + +L

的值

二、典型例题：

例 1：已知

( )

8

2 8

0 1 2 8

3 1x a a x a x a x- = + + + +L

，则

1 3 5 7

a a a a+ + +

的值为________

思路：观察发现展开式中奇数项对应的

x

指数幂为奇数，所以考虑令

1, 1x x= = -

，则偶数项

相同，奇数项相反，两式相减即可得到

1 3 5 7

a a a a+ + +

的值

解：令

1x =

可得：

8

0 1 8

2 a a a= + + +L

①

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