千锤百炼第82炼 求二项式的展开项.doc
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2022-10-14
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- 1 -
第 82 炼 求二项式展开后的某项
一、基础知识：
1、二项式
( )
( )
n
a b n N
*
+ Î
展开式
( )
0 1 1 2 2 2
n
n n n r n r r n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C b
- - -
+ = + + + + + +L L
，从恒等式中我们可以发
现这样几个特点
（1）
( )
n
a b+
完全展开后的项数为
( )
1n +
（2）展开式按照
a
的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，
,a b
的指数呈此消彼长的
特点。指数和为
n
（3）在二项式展开式中由于按
a
的指数进行降幂排列，所以规定“
+
”左边的项视为
a
，右
边的项为
b
，比如：
( )
1
n
x +
与
( )
1
n
x+
虽然恒等，但是展开式却不同，前者按
x
的指数降幂
排列，后者按
1
的指数降幂排列。如果是
( )
n
a b-
，则视为
( )
n
a b+ -
é ù
ë û
进行展开
（4）二项展开式的通项公式
1
r n r r
r n
T C a b
-
+
=
（注意是第
1r +
项）
2、二项式系数：项前面的
0 1
, , ,
n
n n n
C C CL
称为二项式系数，二项式系数的和为
2
n
二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所
以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项
乘在一起便成为了展开时中的某项。对于
( )
n
a b+
可看作是
n
个
( )
a b+
相乘，对于
n r r
a b
-
意
味着在这
n
个
( )
a b+
中，有
( )
n r-
个式子出
a
，剩下
r
个式子出
b
，那么这种出法一共有
r
n
C
种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题
的结果。
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数
注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的
r
n
C
，对于确定的一个二项式，二项式系数只由
r
决定。而系数是指展开并化简后最后项前面
的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：
( )
5
2 1x +
展开式中第
三项为
( )
3
2 2
3 5
2 1T C x= × ×
，其中
2
5
C
为该项的二项式系数，而
( )
3
2 2 3
3 5
2 1 80T C x x= × × =
化简后的结果
80
为该项的系数
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