千锤百炼第23炼 恒成立问题-数形结合法.doc
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2022-10-14
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第 23 炼 恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若
x D" Î
，均有
( ) ( ) ( )
f x g x f x< Û
的图像始终在
( )
g x
的下方
（2）若
x D" Î
，均有
( ) ( ) ( )
f x g x f x> Û
的图像始终在
( )
g x
的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数
的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及
的函数便于直接作图或是利用图像变换作图
（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征
二、典型例题：
例 1：已知不等式
( )
2
1 log
a
x x- <
在
( )
1, 2x Î
上恒成立，则实数
a
的取值范围是_________
思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出
( )
2
1y x= -
的图像，观察图像可
得 ： 若 要 使 不 等 式 成 立 ， 则
log
a
y x=
的 图 像 应 在
( )
2
1y x= -
的上方，所以应为单增的对数函数，即
1a >
，
另一方面，观察图像可得：若要保证在
( )
1, 2x Î
时不等式成
立 ， 只 需 保证 在
2x =
时 ，
( )
2
1 log
a
x x- <
即 可 ，代 入
2x =
可得：
1 log 2 2
a
a£ Þ £
，综上可得：
1 2a< £
答案：
1 2a< £
小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小
了参数讨论的取值范围。
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