千锤百炼第81炼排列组合-选择合适的数学模型.doc资源-CSDN文库

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第 81 炼排列组合——寻找合适的模型

在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决

问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题

一、典型例题：

例 1：设集合

A

由

n

个元素构成，即

{ }

1 2

, , ,

n

A a a a= L

，则

A

所有子集的个数为_______

思路：可将组成子集的过程视为

A

中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，

所以第一步从

1

a

开始，有两种选择，同样后面的

2 3

, , ,

n

a a aL

都有两种选择，所以总数

2 2 2 2

n

n

N = ´ ´ ´ =L

1 44 2 4 43

个

个

答案：

2

n

例 2：已知

{ }

1,2,3, , 40S = L

，

A SÍ

且

A

中有三个元素，若

A

中的元素可构成等差数列，

则这样的集合

A

共有（）个

A.

460

B.

760

C.

380

D.

190

思路：设

A

中构成等差数列的元素为

, ,a b c

，则有

2b a c= +

，由此可得

,a c

应该同奇同偶，

而当

,a c

同奇同偶时，则必存在中间项

b

，所以问题转变为只需在

1 40-

中寻找同奇同偶数的

情况。

,a c

同为奇数的可能的情况为

2

20

C

，同为偶数的可能的情况为

2

20

C

，所以一共有

2

20

2 380C× =

种

答案：C

例 3：设集合

( ) { } { }

{ }

1 2 3 4 5

, , , , | 1,0,1 , 1,2,3,4,5

i

A x x x x x x iÎ - =

，那么集合

A

中满足条件

“

1 2 3 4 5

1 3x x x x x£ + + + + £

”的元素个数为（）

A.

60

B.

90

C.

120

D.

130

思路：因为

0

i

x =

或

1

i

x =

，所以若

1 2 3 4 5

1 3x x x x x£ + + + + £

，则在

( )

1,2,3,4,5

i

x i =

中至少有一个

1

i

x =

，且不多于

3

个。所以可根据

i

x

中含 0 的个数进行分类讨论。

① 五个数中有 2 个 0，则另外 3 个从

1, 1-

中取，共有方法数为

2 3

1 5

2N C= ×

② 五个数中有 3 个 0，则另外 2 个从

1, 1-

中取，共有方法数为

3 2

2 5

2N C= ×

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