千锤百炼第43炼 线性规划-作图与求解.doc
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2022-10-14
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第 43 炼 线性规划——作图与求解
一、基础知识
1、相关术语：
（1）线性约束条件：关于变量
,x y
的一次不等式（或方程）组
（2）可行解：满足线性约束条件的解
( )
,x y
（3）可行域：所有可行解组成的集合
（4）目标函数：关于
,x y
的函数解析式
（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解
2、如何在直角坐标系中作出可行域：
（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点
（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线
（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区
域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点
判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下
三种情况：
① 竖直线
x a=
或水平线
y b=
：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断
② 一般直线
( )
0y kx b kb= + ¹
：可代入
( )
0,0
点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域
即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式
2 3 0x y- + £
，代入
( )
0,0
符合
不等式，则
2 3 0x y- + £
所表示区域为直线
2 3 0x y- + =
的右下方
③ 过原点的直线
( )
0y kx k= ¹
：无法代入
( )
0,0
，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者
利用象限进行判断。例如：
y x£
：直线
y x=
穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点
0, 0x y> <
，所以必有
y x£
，所以第四象限所在区域含在
y x£
表示的区
域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件
( )
, 0F x y >
（或
( )
, 0F x y <
）
边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件
( )
, 0F x y ³
（或
( )
, 0F x y £
）
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