第6次习题课答案1
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作者：闫浩, 章纪民 2014 年 3 月
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微积分 A（2）第六次习题课参考答案（第九周）
1.设有空间区域
0
2222
1
zRzyx ,:
，
，则：及 000
222
2
zyxRzyx
2
,,,
（ C ）。
（A）
21
4 xdvxdv
(B)
21
4 ydvydv
(C)
21
4 zdvzdv
(D)
21
4 xyzdvxyzdv
【解】应用对称性。
观察发现积分区域
1
关于 x 轴，y 轴对称，x 关于 y 轴是奇函数，y 关于 x 轴是奇函
数，xyz 关于 y 轴和 x 轴均为奇函数。因此 A，B，D 选项的左边均为 0，而右边显然大于 0，
所以 A，B，D 均不正确。又因为 z 关于 x，y 均为偶函数，所以可得选项 C 正确。
2.选择题
（1）已知
3 3
( )f C
，则
1
0 0 0
( , , )
x y
dx dy f x y z dz
=【 】
A.
1
0 0 0
( , , )
y y
dy dx f x y z dz
B.
1
0 0 0
( , , )
x z
dx dz f x y z dy
C.
1 1
0 0
( , , )
y
y
dy dz f x y z dx
D.
1 1
0 0
( , , )
z
y
dz dy f x y z dx
选 C
（2）
1
0 0 0
cos
1
x y
z
dx dy dz
z
=【 】
A.
1 cos1
2
B.
1 sin1
2
C.
1
2
D.
sin1 cos1
2
选 A。
3. 交换积分次序:
1 1
0 0 0
( , , )
x x y
dx dy f x y z dz
（1）先积
y
，再积
x
，最后积
z
；（2）先积
x
，再积
z
，最后积
y
.
4.证明：
3
1 1 1
0 0
1
( ) ( ) ( ) ( ) .
6
y
x x
dx dy f x f y f z dz f x dx
5.求三重积分:
dvzyxI
,其中
2 2
2 2
0 1
, ,
z y x
x y z
z x y
解：由函数与域的对称性；
dvzyxI
=
dvz
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