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习题课5答案1
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83
VVVÇÇÇØØ؆††êêênnnÚÚÚOOO111ÊÊÊgggSSSKKK‘‘‘KKK888)))‰‰‰
KKK1 oN©Ù•𝑈[𝜃 − 1, 𝜃 + 1]§Ù¥𝜃´™•ëê§𝑋
1
, . . . , 𝑋
𝑛
´5gToN{ü‘Å"
1. ¦𝜃ÝOþ
ˆ
𝜃§ä§ƒÜ5Úà 5§OŽþ•ØMSE(
ˆ
𝜃)¶
2. y²é?Û0 ≤ 𝑡 ≤ 1§
ˆ
𝜃
𝑡
:= 𝑡𝑋
(𝑛)
+ (1 − 𝑡)𝑋
(1)
+ 1 − 2𝑡Ñ´𝜃4Œq,Oþ¶
3. ¦𝑋
(1)
Ú𝑋
(𝑛)
VÇ©Ù±9êÆÏ"𝐸𝑋
(1)
!𝐸𝑋
(𝑛)
¶
4. ¯
ˆ
𝜃
𝑡
´Ä•𝜃ƒÜOÚà Oº
5. ¦𝑋
(1)
, 𝑋
(𝑛)
éÜ©Ù§±9𝑋
(1)
+ 𝑋
(𝑛)
VÇ©Ù§¿OŽ•Var(
ˆ
𝜃
1/2
)¶é'11¯
(J§\kÛ(غ
). (a) d𝐸𝑋 = 𝜃ÝO
ˆ
𝜃 =
¯
𝑋"ŠâŒê½Æ§§´𝜃£r¤ƒÜO"𝐸
¯
𝑋 =
𝐸𝑋 = 𝜃 §ÝO´Ã O§ùž
MSE(
ˆ
𝜃) = Var
¯
𝑋 =
Var𝑋
𝑛
=
2
2
12𝑛
=
1
3𝑛
.
(b) q,¼ê
𝐿(𝜃; 𝑥
1
, . . . , 𝑥
𝑛
) = 𝑝(𝑥
1
, . . . , 𝑥
𝑛
; 𝜃) =
1
2
𝑛
𝐼
𝑥
(𝑛)
−1≤𝜃≤𝑥
(1)
+1
,
Ïd§3«m[𝑥
(𝑛)
− 1, 𝑥
(1)
+ 1]þ??•ŒŠ§Ïd阃0 ≤ 𝑡 ≤ 1§
ˆ
𝜃
𝑡
:= 𝑡(𝑋
(𝑛)
− 1) + (1 − 𝑡)(𝑋
(1)
+ 1) = 𝑡𝑋
(𝑛)
+ (1 − 𝑡)𝑋
(1)
+ 1 − 2𝑡
Ñ´𝜃4Œq,O"
(c) d
𝑃 (𝑋
(𝑛)
≤ 𝑥) =
1, e𝑥 > 𝜃 + 1;
𝑥−𝜃+1
2
𝑛
, e𝜃 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝜃 + 1;
0, e𝑥 < 𝜃 − 1.
𝑋
(𝑛)
VÇ—Ý•
𝑓
𝑋
(𝑛)
(𝑥) = 𝑛
𝑥 − 𝜃 + 1
2
𝑛−1
1
2
𝐼
𝜃−1≤𝑥≤𝜃+1
.
84
?
𝐸𝑋
(𝑛)
=
𝜃+1
𝜃−1
𝑥 ⋅ 𝑛
𝑥 − 𝜃 + 1
2
𝑛−1
1
2
𝑑𝑥
=
1
0
(2𝑦 + 𝜃 − 1)𝑛𝑦
𝑛−1
𝑑𝑦 (𝑦 =
𝑥 − 𝜃 + 1
2
)
=
2𝑛
𝑛 + 1
+ (𝜃 − 1) = 𝜃 +
𝑛 − 1
𝑛 + 1
.
aq£½dé¡5¤Œ
𝐸𝑋
(1)
= 𝜃 −
𝑛 − 1
𝑛 + 1
.
(d) u´
𝐸
ˆ
𝜃
𝑡
= 𝜃 +
2 − 4𝑡
𝑛 + 1
,
Ïd…=𝑡 = 1/2ž§
ˆ
𝜃
𝑡
´𝜃Ã O"d𝑋
𝑛
Vǩټꕧé?Û𝜀 > 0§
𝑃 (∣𝑋
(𝑛)
− (𝜃 + 1)∣ > 𝜀) = 𝑃 (𝑋
(𝑛)
< (𝜃 + 1) −𝜀) ≤
2 − 𝜀
2
𝑛
𝐼
0<𝜀<2
→ 0, 𝑛 → ∞,
Ïd
𝑋
(𝑛)
𝑃
−→ 𝜃 + 1, 𝑛 → ∞.
aqŒy
𝑋
(1)
𝑃
−→ 𝜃 − 1, 𝑛 → ∞.
Ïd
ˆ
𝜃
𝑡
𝑃
−→ 𝜃, 𝑛 → ∞,
=
ˆ
𝜃
𝑡
´𝜃ƒÜO"
(e) -𝑌
𝑘
= 𝑋
𝑘
− 𝜃§K𝑌
1
, . . . , 𝑌
𝑛
𝑖.𝑖.𝑑.
∼ 𝑈(−1, 1)§d
𝑃 (𝑌
(1)
≥ 𝑢, 𝑌
(𝑛)
≤ 𝑣) = 𝑃 (𝑢 ≤ 𝑌
𝑘
≤ 𝑣, 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛) =
𝑣 − 𝑢
2
𝑛
𝐼
−1≤𝑢≤𝑣≤1
,
Ïd
𝑓
𝑌
(1)
,𝑌
(𝑛)
(𝑢, 𝑣) = −
∂
2
∂𝑢∂𝑣
𝑣 − 𝑢
2
𝑛
𝐼
−1≤𝑢≤𝑣≤1
= 𝑛(𝑛 − 1)
𝑣 − 𝑢
2
𝑛−2
1
4
𝐼
−1≤𝑢≤𝑣≤1
.
85
u´
𝑓
𝑌
(1)
+𝑌
(𝑛)
(𝑧) =
+∞
−∞
𝑓
𝑌
(1)
,𝑌
(𝑛)
(𝑢, 𝑧 − 𝑢)𝑑𝑢
=
+∞
−∞
𝑛(𝑛 − 1)
𝑧 − 𝑢 − 𝑢
2
𝑛−2
1
4
𝐼
−1≤𝑢≤𝑧−𝑢≤1
𝑑𝑢
(max{−1, 𝑧 − 1} ≤ 𝑢 ≤
𝑧
2
)
= 𝐼
max{−1,𝑧−1}≤
𝑧
2
𝑧
2
max{−1,𝑧−1}
𝑛(𝑛 − 1)
𝑧 − 2𝑢
2
𝑛−2
1
4
𝑑𝑢
= 𝐼
∣𝑧∣≤2
1−
∣𝑧∣
2
0
𝑛(𝑛 − 1)𝑤
𝑛−2
1
4
𝑑𝑤 (𝑤 =
𝑧
2
− 𝑢)
=
𝑛
4
1 −
∣𝑧∣
2
𝑛−1
𝐼
∣𝑧∣≤2
.
u´
Var(𝑌
(1)
+ 𝑌
(𝑛)
) = 𝐸(𝑌
(1)
+ 𝑌
(𝑛)
)
2
=
2
−2
𝑧
2
⋅
𝑛
4
1 −
∣𝑧∣
2
𝑛−1
𝑑𝑧
= 2
2
0
𝑧
2
⋅
𝑛
4
1 −
∣𝑧∣
2
𝑛−1
𝑑𝑧
= 4
1
0
(1 − 𝑤)
2
𝑛𝑤
𝑛−1
𝑑𝑤 (𝑤 = 1 −
𝑧
2
)
=
8
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
,
Ïd
Var
ˆ
𝜃
1/2
= Var
𝑋
(1)
+ 𝑋
(𝑛)
2
=
1
4
Var
𝑌
(1)
+ 𝑌
(𝑛)
=
2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
≤
1
3𝑛
,
=
ˆ
𝜃
1/2
'
¯
𝑋k"
KKK2 oN©Ù•𝑈[𝜃, 2𝜃]§Ù¥𝜃 > 0´™•ëê"𝑋
1
, . . . , 𝑋
𝑛
´5gToN{ü‘Å"
1. |^ÝO•{¦𝜃Ã Oþ
ˆ
𝜃
1
§OŽÙ•¶
2. ¦𝜃4Œq,Oþ
ˆ
𝜃
MLE
§¿d§E𝜃˜‡Ã O
ˆ
𝜃
2
§¿OŽ
ˆ
𝜃
2
•¶
3. r𝑋
(1)
Š𝜃˜‡:O§d§E𝜃˜‡Ã O
ˆ
𝜃
3
§¿OŽ
ˆ
𝜃
3
•¶
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巧笑倩兮Evelina
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