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7-习题课1
7-习题课1
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多元连续函数
的性质
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多元函数概念
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一、主要内容
7.9
综合例题
全微分
的应用
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的应用
高阶偏导数
高阶偏导数
隐函数
求导法则
隐函数
求导法则
复合函数
求导法则
复合函数
求导法则
全微分形式
的不变性
全微分形式
的不变性
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几何上的应用
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几何上的应用
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方向导数
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概念
全微分
概念
偏导数
概念
偏导数
概念
连续、可导、可微的关系
连续、可导、可微的关系
梯度
梯度
例1
.
,
,
)
(
),
,
(
2
2
2
3
y
x
z
y
z
y
z
f
x
y
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f
x
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
求
,
具有二阶连续偏导数
设
解
)
1
(
2
1
3
x
f
x
f
x
y
z
′
+
′
=
∂
∂
,
2
2
1
4
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x
f
x
′
+
′
=
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1
(
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1
(
22
21
2
12
11
4
2
2
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x
y
z
′
′
+
′
′
+
′
′
+
′
′
=
∂
∂
,
2
22
12
3
11
5
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x
f
x
f
x
′
′
+
′
′
+
′
′
=
x
y
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y
x
z
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∂
∂
=
∂
∂
∂
2
2
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(
[
2
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(
[
4
2
22
21
2
2
2
12
11
4
1
3
x
y
f
y
f
x
xf
x
y
f
y
f
x
f
x
−
′
′
+
′
′
+
′
+
−
′
′
+
′
′
+
′
=
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(
2
2
1
4
f
x
f
x
x
′
+
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∂
=
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2
4
22
11
4
2
1
3
f
y
f
y
x
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f
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′
−
′
′
+
′
+
′
=
,
,
,
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,
(
)
,
(
2
2
2
x
z
y
z
x
z
y
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f
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zy
xy
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
的偏导数
确定的隐函数
求由
ϕ
例2
解
.
0
)
,
,
(
.
0
)
,
(
)
,
(
]
1
[
2
2
的形式
即
化为
把
法
=
=
−
=
z
y
x
F
zy
xy
z
zy
xy
z
ϕ
ϕ
2
1
2
1
ϕ
ϕ
′
−
′
=
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
∴
y
y
z
F
x
F
x
z
2
2
1
1
2
ϕ
ϕ
ϕ
′
−
′
+
′
=
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
y
z
xy
z
F
y
F
y
z
)
(
2
2
x
z
x
x
z
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∴
2
2
22
2
21
1
3
12
2
11
2
2
)
1
(
)
(
)
)(
1
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
′
−
′
′
′
+
′
′
′
+
′
′
′
+
′
′
′
−
=
y
z
y
y
y
z
y
y
y
y
x
x
,
,
,
)
,
(
)
,
(
2
2
2
x
z
y
z
x
z
y
x
f
z
zy
xy
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
的偏导数
确定的隐函数
求由
ϕ
例2
解
边同时求偏导
原式不变形,对原式两
法
]
2
[
x
yz
y
x
z
∂
∂
⋅
′
+
⋅
′
=
∂
∂
∴
)
(
2
2
1
ϕ
ϕ
)
(
略
同法可求
y
z
∂
∂
2
1
2
1
ϕ
ϕ
′
−
′
=
∂
∂
∴
y
y
x
z
2
2
x
z
∂
∂
对
式两边再对
求偏导可得
x
x
z
y
y
∂
∂
⋅
′
+
⋅
′
=
2
2
1
ϕ
ϕ
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