第1次习题课1
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2022-08-03
17:19:07
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第一次习题课（一元多项式）
一、判断下列结论是否正确，并说明理由。
设0 6= f(x), g(x), h(x) ∈ F [x] ，K为F 的扩域.
(1) f(x) | g(x)在F [x]中成立当且仅当f(x) | g(x)在K[x]中成立.
(2) 在F [x]和K[x]中最大公因式(f(x), g(x))相同。
(3) 在F [x]和K[x]中f(x)、g(x)的最大公因式相同。
(4) 若f(x)、g(x)在C上有公共根，则在F [x]上(f(x), g(x)) 6= 1.
(5) f(x)在C上有重根当且仅当在F [x]上(f(x), f
0
(x)) 6= 1。
(6) 设f(x)为F 上的不可约多项式，且f(x), g(x)有公共的复根，则f(x) | g(x).
(7) f(x), g(x)的公共根恰好为(f(x), g(x))的根。
(8) α ∈ C为f(x)的2重根当且仅当f
0
(α) = 0, f
00
(α) = 0，但f
000
(α) 6= 0.
(9) (f(x), g(x)h(x)) = 1 当且仅当(f(x), g(x)) = 1, (f(x), h(x)) = 1.
(10) (f(x), g(x)h(x)) = (f(x), g(x))(f(x), h(x)).
(11) 若x − 1 | f(x
n
), 则x
n
− 1 | f(x
n
).
(12) 若x + 1 | f(x
n
), 则x
n
+ 1 | f(x
n
).
二、设a, b, c 是三个不同的数，用x − a，x − b，x − c 除一元多项式f(x) 的余式
依次为r; s; t，试求用g(x) = (x − a)(x − b)(x − c) 除f (x) 的余式.
三、求f(x) = x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
+ 3x + 1，g(x) = x
3
+ 2x
2
− 2x − 1的公共根。
四、求f(x) = x
5
− 3x
4
+ 2x
3
− x
2
− 3x + 4在Q上的标准分解式。
五、设0 6= f(x), q(x) ∈ F [x]，其中q(x)为F 上首1的不可约多项式，证明：q(x)为f(x)的n重
不可约因式的充要条件是q(x) | f(x), q(x) | f
0
(x), ..., q(x) | f
(n−1)
(x)，但q(x) †
f
(n)
(x).
六、证明：(1) f(x) | g(x) 当且仅当f(x)
n
| g(x)
n
(n为正整数).
(2) (f(x), g(x)) = 1当且仅当(f(x)
m
, g(x)
n
) = 1（m, n为正整数）。
1
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